Пром-Снег: Промышленность узловых агрегатов

Главная страница сайта Российские промышленные издания (узловые агрегаты)

1 ... 23 24 25 [ 26 ] 27

ПРИЛОЖЕНИЕ 20А

Приведенные программы являются подпрограммами формирования и решения уравнений итерационным методом Гаусса - Зейделя.

с с с

Программа 20-12

SUBROUTINE FORMK

Подпрограмма предназначена для формирования компактной матрицы К и соответствующей матрицы-указателя

C0MM0N/C0NTR/TITLE(12),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT, NSZF,LI,NT4

COMMON CORD( 100,2),NOP(200,4),IMAT(200),ORT(25,2),NBC(25),

NFIX(25) 1,RH200),S1(200,20),ISP(200,20) 2,ESTIFM(12,12)

Задание максимального числа членов

NMAX = 20 NOFF = 20

Задание нулевых массивов

DO 300 N = l.NSZF

DO 280 М = l.NMAX 280 SI(N,M) = 0

DO 290 M = 2,N0FF 290 ISP(N,M) = 0 300 ISP(N,1) = N

Обход no всем элементам

DO 400 N = l.NH CALL STIFT2(N)

Возврат к ESTIFM, как к матрице жесткости

Засылка ESTIFM в массив SI н члена-указателя в ISP

С С С

с с

Обход сначала по строкам 1 = 0

DO 350 JJ= l.NCN

NROWB = (NOP(N,JJ) - I).NDF

DO 350 J=I,NDF

С С

с с

305 310

с с с

с с

с с с

с с

NROWB = NROWB -f- 1

I = I-f 1

Затем обход по столбцам 11=0

DO 330 КК = l.NCN

NCOLB = (NOP(N,KK) - 1) NDF

DO 330 К = l.NDF

NCOLB = NCOLB -b 1

II = II-f 1

Поиск в ISP номера сто-тбца DO 310 M = 1,N0FF

IF(ISP(NROWB,M) - NCOLB) 305,320,305 IF(ISP(NROWB,M)) 315,315,310 CONTINUE

Поиск свободного места для хранения NCOLB ISP(NROWB,M) = NCOLB

Запись ESTIFM

SI(NROWB,M) = ESTIFM\I,II) -j- SI(NROWB,M)

Конец цикла по столбцам CONTINUE

Конец цикла по строкам CONTINUE

Коаец цикла по элементам CONTINUE

Учет граничных условий

DO 500N= 1,NB NX= 10..(NDF- 1) I = NBC(N)

NROWB = (I- 1).NDF

Проверка каждой степени свободы

DO490 М = I.NDF NROWB = NROWB -f 1 ICON = NFIX(N)/NX IF(ICON) 450,450,420

С С С

Запоминаине большого номера на диагонали

420 SI(NROWB,1) = SI(NROWB,1)>10..20 NFIX(N) = NFIX(N) - NX.ICON

450 NX = NX/10

490 CONTINUE

500 CONTINUE RETURN END

Программа 20-13

SUBROUTINE SOLVE

С Подпрограмма предиазначеиа для решения уравнений ятерацнон-С иым методом

C0MM0N/C0NTR/TITLE(12),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,

COMMONa3RD(100,2),NOP(200,4),IMAT(200),ORT(25,2),NBC(25), NFIX(25)

1,R(200),A(200.20),ITEM(200,20),DIS(200) NT = 20

Задание коэффициента релаксации и точности

T0LER = .lE-3 RELAX =1.8

Прн отрицательном числе уравнений пропуск задания начальных данных

IF(NEQ.LT.0)G0 ТО 310

DO 300 N = l.NEQ DO 250 М= 1,NT IF(ITEM(N,M).NE.O) GO TO 250

Массив 1TEM(N,1) содержит счетчик расстояния от диагонали

С С

с с с с

с с с

ITEM(N,1) = M- 1

GO ТО 260 250 CONTINUE 260 CONTINUE 300 CONTINUE 310 NEQ=5=IABS(NEQ)

Задание максимального количества циклов

NCYC = NEQ/2 IF(NCYC.LT.25)NCYC = 25

С С С С

I Задание нулевого массива неизвестных

DO 320 N = l.NEQ IF( А( N, 1 ).NE.O.)A( N,1) = 1 ./A(N, 1) 320 DIS(N) = 0.

I Начало цикла по циклам

DO 500 NC = l.NCYC SUM = 0. SUMD = 0.

I Начало цикла по уравнениям

DO 450N=l,NEQ FX = R(N) NUM = ITE.M(N,1) DO 330 M = 2,NUM L = ITEM(N,M) 330 FX = FX-A(N,M).DIS(L)

FX - общее отклонение от RHS DX - измененное значение

DX = A(N,1).FX-D1S(N) DIS(N) = DlS(N) + RLAX.DX

SU.Vl и SUMD - параметры, характеризующие сходимость

С С С

с с с

SUM = SUM + ABS(DX) SUMD = SUMD + ABS(DIS(N)) 450 CONTINUE

Выход аз цикла арн достижении сходимости ND = NC

IF(SUM.LT.SUMD.TOLER) GO ТО 550 500 CONTINUE

Пересылка окончательных результатов в массив R

550 DO 600 N = l.NEQ 600 R(N) = DIS(N)

Печать последнего значения суммы а т. д.

WRITE(6,10),ND,SUM,SUMD FORMAT(20H0 LAST CYCLE NO. = ,110 1, / 20H (SN-SN-1)/SN =,EI0.3

2, / 20Н

RETURN

SN =,EI0.3)

ПРИЛОЖЕНИЕ 20Б

Приведенные программы являются подпрограммами составления и решения уравнений методом редкозаполненных матриц (фронтальным методом).

С С С

с с

с с с

Программа 20-14

SUBROUTINE FORMK

Программа предназначена для формирования верхнего треугольника компактной матрицы и матрицы-указателя

C0MM0N/C0NTR/TITLE(12),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT, NSZF,LI,NT4

COMMON CORD( 100,2),NOP(200,4),IMAT(200),ORT(25,2),NBC(25),

NFIX(2S) 1,R1(200),SI(200,20),ISP(200,20) 2.ESTIFM(12,12)

Задание максимального числа членов

N MAX = 20 NOFF = 20

С С С

С С С С С С

Задание нулевых массивов

DO 300 N = l.NSZF

DO 280 М = l.NMAX 280 SI(N,M) = 0.

DO 290 M = 2,N0FF 290 ISP(N,M) = 0 300 ISP(N,I) = N

Обход no элементам

DO 400 N = 1,NE CALL STIFT2(N).

Возврат к ESTIFM как к матрице жесткости Засы.таа ESTIFM в SI и члена указателя в ISP

Обход сначала по строкам

С С С

DO 350Л= l.NCN NROWB = (NOP(N,JJ) - 1 ).NDF DO 350 J= l.NDF NROWB = NROWB + 1

I = 1-1-1

Затем обход по столбцам ESTIFM

II = 0

DO 330 КК = l.NCN NCOLB = (NOP(N,KK) - 1 )NDF DO 330 К = l.NDF NCOLB = NCOLB -)- 1 11 = 11-1-1

Пропуск, ес.ти член лежит ниже диагонали

IF(NCOLB - NROWB) 330,302,302 302 CONTINUE

С С

Поиск в ISP номера столбца

DO 310 М= 1,N0FF IF(ISP(NR0WB,M)- NCLOB) 305.320,305 305 IF(ISP(NROWB,M) 315,315,310 . 310 CONTINUE .

: Поиск свободного места для хранения NCOLB

315 ISP(NROWB,M) = NCOLB : Запись ESTIFM

320 SI(NROWB,M) = ESTIFM(I,II) + SI(NROWB,M)

С Конец цикла по столбцам

330 CONTINUE С Конец цикла по строкам

350 CONTINUE С Конец цикла по элементам

400 CONTINUE

С Учет граничных условий С

DO 500 N= 1,NB NX=10< (NDF-1) I = NBC(N) NROWB = (I - 1).NDF

С С

с с

проверка каждой степени свободы

DO 490 М= l.NDF NROWB = NROWB + 1 ICON = NFIX(N)/NX IF(ICON) 450,450,420 .

Запоминание большого номера иа диагонали

С С

420 SI(NR0WB,1) = SI NROWB,1).10..20

NFIX(N) = NFIX(N) - NX.ICON 450 NX = NX/10 490 CONTINUE 500 CONTINUE

RETURN

Программа 20-15

SUBROUTINE SOLVE Решает методом редкозаполненных матриц

C0MM0N/C0NTR/TITLE(12),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT, NEQ,L1,NT4

COMMON CORD(100,2),NOP(200,4),IMAT(200),ORT(25,2),NBC(251, NFIX(25)

1,R(200),A(200,20),ITEM(200,20),IMET(200) NT = 20

С С

с с

с с с с

Пропуск, если число уравнении отрицательно Составление полной матрицы ITEM

IF(NEQ.LT.O) GO ТО 360 SYM 3

В противном случае заполнение ITEM по мере необходимости

DO 220 M=l,NT SYM 6

220 IMET(M) = ITEM(1,M) SYM 7

DO 340 N = 2,NEQ SYM 8

DO 280 M = I,NT SYM 9

IF(IMET(M)-N-f 1) 225,280,225 SYM 10

225 DO 240 L = 1,NT SYM И

IF(ITEM(N,L)) 230,260,230 SYM 12

230 IF(ITEM(N,L)-IMET(M)) 240,280,240 SYM 13

240 CONTINUE SYM 14

WRITE(6,i00)N SYM 15 100 FORMAT(43H ALLOWABLE SPACE EXCEEDED IN

EQUATION TABLE, 14) SYM 16

STOP SYM 17

260 ITEM(N,L =IMET(M) SYM 18

280 CONTINUE SYM 19

300 DO 320 M=1,NT SYM 20

320 IMET(M) = ITEM(N,M) SYM 21

С С С

С С

с с

370 380 400

340 CONTINUE 360 NEQ = IABS(NEQ) NEQM = NEQ- 1

Начало цикла по уравнениям

DO 520 I = 1,NEQM

Модификация вектора RHS

R(I) = R(I)/A(I,1)

Цикл по строкам необходимо исключить

DO 460 M = 2,NT IN = 1TEM(I,M) IF(IN) 365,480,365

Найти соответствующие строки

DO 380 N = 1,NT IA = 1TEM(IN,N) IF(IA) 370,400,370 IMET(IA) = N CONTINUE CONTINUE TEMP = A(I,M)/A(I,1)

Цикл no столбцам необходимо исключить

DO 420 N = I,NT IA = ITEM(I,N) IF(IA) 405,440,405 405 IF(IA-IN) 420,410,410 410 IM = IMET(IA)

Модификация элемента матрицы

A(IN,IM) = A(IN,IM) - TEMP.A(I,N) 420 CONTINUE

Модификация вектора нагрузки

440 R(1N) = R(IN)-R(I).A(I,M) 460 CONTINUE 480 CONTINUE

Пересылка строки для обратного хода

DO 500 M = 2,NT

A(I,M) = A(I,M)/A(I,1) 500 CONTINUE Б20 CONTINUE

R(NEQ) = RINEQ)/A(NEQ,1)

С С С

SYM 22 SYM 23 SYM 24

SYM 25

SYM 26

SYM 27 SYM 28 SYM 29

SYM 30

SYM 31

SYM 32

SYM 33

SYM 34

SYM 35

SYM 36

SYM 37

SYM 38

SYM 39

SYM 40

SYM 41

SYM 42 SYM 43

SYM 44 SYM 45 SYM 46

SYM 47

SYM 48

SYM 49

SYM 50

SYM 51

С С С

Обратный ход

DO 560 1В= 1,NEQM

I = NEQ-1B

DO 540 M = 2,NT

J = ITEM(1,M)

IF(J) 540,560,540 540 R(I) = R(I)-A(I,M).R(J) 560 CONTINUE

RETURN

SYM 52

SYM 53

SYM 54 SYM SYM

SYM 57

SYM 58

SYM 59

SYM 60

55 56

ПРИЛОЖЕНИЕ 20B

В ЭТОМ приложении приведен ряд подпрограмм, которые можно использовать для решения очень большого числа уравнений при ограниченной максимальной половине ширины ленты. Эти подпрограммы несовместимы с описанными ранее.

Как уже отмечалось в последней части подразд. 20.5.1, составление ансамбля и исключение выполняются параллельно и исключение жесткостных уравнений узла осуществляется сразу же после их составления. Подпрограмма SOLV используется для построчного исключения (число строк равно числу степеней свободы узла), а подпрограмма BSUB - для осуществления обратного хода, при котором вычисляются и реакции в граничных точках. Подпрограммы STORE и RDBK -две небольшие подпрограммы для запоминания и считывания модифицированных уравнений. Эти модифицированные уравнения не записываются по мере их составления на ленту, а временно хранятся во внешней памяти и записываются в виде блока при заполнении памяти. Подпрограмма INIT образует индексы, необходимые в вышеупомянутых подпрограммах. Она вызывается перед началом решения задачи.

а) Блок-схема подпрограммы 1NIT

Образование контрольных переменных

Вычисление длины записи

Возврат в основную программу

б) Блок-схема подпрограммы STORE

Проверка места во внешней памйти

Нет

Переписка данных ио памяти на ленту

Возврат в исходное положение счетчика индексов

Последовательная запись уравнений и граничных переменных вовнешнюю память с соответствующими индексами

Возврат в основную программу

в) Блок-схема подпрограммы RDBK

Проверка, находится ли еще^ запись во внешней ламяти

Нет

Прокручивание ленты в обратном HanpaCj нии и считывание в новый блок

Возврат в исходное положение счетчика индексов

Считывание уравнения, граничных переменных и соответствующих индексов

Возврат в основную программу

г) Блок-схема подпрограммы SOLV

Начало иинла по степеням свободы

Нет

Заданы ли	перемещения ?

включение заданных значений
в вентор нагризни

- Модификация рассматриваемого уробнения

Запоминание уравнения

Исключение уравнений в соответствии с (20.3)и (20.i)

((ересыпна полученных матриц нОЗад в исходное положение

Нонец цинпа по степеням свободы

Возврат в основную программу

д) Блок-схема подпрограммы BSUB

Начало цикла по всем уравнениям

Введение уравнения и граничных переменных \

Осуш,еотвление офютного хода

нет

-л-\оть ли в уравнении заданные перемещения ?

Завись номера узяа и компоненты реакции

Подстановка вычисленных ипи заданных значений матрицу перемещений

Смещение известной матрицы перемещений на odiy позицию вниз

Конец цикла по уравнениям \

Запись матрицы перемещений

Возврат в основную проврамму

Обозначения переменных в подпрограммах 20-16 -~ 20-20

NBAND	Максимальная величина половины ширины
	ленты
	Число степеней свободы узла
	Переменная для проверки граничных точек
	Переменная для проверки заданных компонент
	перемещений
	Заданное значение
NCOLN	Количество столбцов нагрузки (векторов)
	Массив жесткости
	Массив нагрузок (перемещений)
	Объем внешней памяти

с с

Программа 20-16

SUBROUTINE INIT (NBAND.NCOLN) Контрольное счетчики

COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X{8000)

Размеры X можно изменять

NA имеет тот же размер, что и X

NA = 8000 18=1

NBD = NBAND

NCOL = NCOLN

LRECL = NBD + NCOL + 3

NREC = 0

IF (LRECL-NA) 1,1,2 RETURN

WRITE(6,4) LRECL.NA 0 FORMAT (OLOGICAL RECORD LENGTH 0FM6,EXCEEDS BUFFER SET AT, 1 16) STOP ENDT

С С

Программа 20-17

SUBROUTINE STORE (ST,P,NR,BN,BV) DIMENSION ST(60,60),P(60,2)

COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X(8000)

Проверка возможности размещения во внешней памяти программы автоматического разбиения на элементы

1F(IS +LRECL-NA) 5,5,50 Место во внешней памяти

б DO 10 I = l.NBD X(IS) = ST(1,I)

10 IS = IS + 1

DO 15 I = l.NCOL X (IS) = P(1,I)

С С

IS = IS+1 X(IS) = NR X(1S + 1) = BN X(IS + 2) = BV IS = IS + 3 RETURN

Нет места во внешней памяти

L = IS- 1

WRITE(2) (X(J),J = 1,L) Канал 2 внешней памяти

IS= 1

NREC = NREC + 1

GO TO 5

С С

40 41

Программа 20-18

SUBROUTINE RDBK (ST,P,NR;BN,BV) DIMENSION ST(60,60),P(60,2)

COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X(8000) Проверка нахождения следующей записи во внешней памяти

IS =18-LRECL IF(IS-I) 40,12,12

Запись находится во внешней памяти

12 DO 1! 1 = 1, NBD ST (1,I) = X(1S) IS = IS + 1 DO 15 1 = 1, NCOL P (1,I) = X(IS) IS = IS + 1 NR = X(IS) BN = X(IS + 1) BV = X(IS + 21 IS= IS+ 3-LRECL RETURN

Необходимо считывать последний записанный блок

IF (NREC) 100,100,41 NREC = NREC -1 BACKSPACE 2 READ (2) (X(J),J=!,L) BACKSPACE 2 IS=L + 1 GO TO 10

Нелогичная ошибка

С С

100 WRITE (6,101)

10! FORMAT(0 ATTEMPT ТО READ BACK TOO MANY RECORDS.) STOP END

С С

с с с с

Программа 20-19

SUBROUTINE SOLV

COMMON DIS(720,2),ST(60,60),Q(60,2),P(6a,2),PST(2),BN(2),BV(2) COMMON NDF,NBAND,NSIZ,NDFI,NP,NELEM,NCOLN,NDATA

NCOLN - число столбцов нагрузки NR = I - узлы с граничными условиями BN - 1 - закреплено, О - свободно BV - заданные перемещения NBAND - половина ширины ленты NDF - чисто степеней свободы

С С

NDFI = NDF + 1,NSIZ = NBAND - NDF

DO 111 JJ= l.NDF

Проверка граничных условий

IF(NR.NE.l) GO TO 58

IF (ABS(BN(JJ)).LT..00O01) GO TO 58

ST!!=0

DO 5 J=!,NCOLN

5 PST(J) = BV(JJ) DO 8 J= 1,NCOLN

8 P(I,J) = -BV(JJ) + P(1,J)/ST(!,!)

DO 4 I = 2,NBAND: 4 ST(1,I) = ST(1,I)/ST(1,I)

ST(!.1) = -ST(1,1)

GO TO 60

Уравнение без граничных условий

58 STU = 1,/ST(!,1) DO 6 J= 1,NCOLN

6 PST(J) = P(!,J).ST!1 ST(!,1) = ST!1

60 CALL STORE (ST,P,NR,BN(JJ),BV(JJ))

DO 1! I=2,NBAND

DO 16 J= 1,NCOLN 16 P(I,J) = P(I,J)-ST(!,I).PST(J)

Составление модифицированной матрицы нагрузки

DO 1! J = 2,NBAND 11 ST(I,J) = ST(I,J) - ST(1,I).ST(1,J) ST11

Составление модифицированной матрицы жесткости

DO 14 I = 2,NBAND DO 15 J = l,NCOLN P(I-1,J) = P(I,J)

15P(I,J) = 0

DO 14 J = 2,NBAND

ST(I- 1, J- 1) = ST(I,J)

ST(! - I,J) = 0

ST(I,J~1) = 0 , 14 ST(J,J) = 0

Смещение в исходное положение

CONTINUE

RETURN

С С

Программа 20-20

SUBROUTINE BSUB

COMMON DIS(720,2),ST(60,60),Q(60,2),P(60,2),PST(2),BN(2),BV(2) COMMON NDF,NBAND,NSIZ,NDF1,NP,NELEM,NC0LN,NDATA

NP - число узлов

NP2 = NDF.NP DO 30 II = 1,NP2 M = NP2 - II

CALL RDBK(ST,P,NR,BNJJ,BVJJ)

Выполнение обратного хода

С С

DO 11 J= 1,NC0LN

DO 11 I = 2,NBAND 11 P(1,J) = P(1,J)-ST(1,I).P(I,J)

DO 2 J = 1,NC0LN

P(1,J) = P(!,J).ST(1,1)

IF (NR.NE.l) GO TO 88

IF (BNJJ) 90,88,90 90 LK = M/NDF + 1

Запись номера узла и вычисленной реакции

WRITE(6,10) LK,P(LJ) 10 FORMAT(I4,E16.8) DIS(M + 1,J) = BVJJ P(!,J) = BVJJ GO TO 2 88 DIS(M + 1,J) = P(1,J) 2 CONTINUE

Смещение известной матрицы перемещений

DO 4 I = 2,NBAND L = NBAND - I + 1 DO 4 J = l.NCOLN 4 P(L+4,J) = P(L,J) 30 CONTINUE WRITE(6,!5)

15 F0RMAT(16H X-DISPLACEMENT, 16H Y-DISPLACEMENT) 34 WRITE(6,7) ((DIS(I,J),I = 1,NP2),J=!,NC0LN) 7 F0RMAT(2E168)

RETURN

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

Для понимания содержания этой книги и проведения необходимых вычислений требуется знание лишь некоторых основных определений матричной алгебры.

Определение матрицы

Линейное соотношение между совокупностью переменных х

21*1 + 22*2 + 23*3 + 24*4 = h, 31*1 + 32*2 + 33*3 + 34 4 = h

можно записать более кратко:

[А] {х}{Ь},

где

{х} =

Xi>l

Xs Хз Xi

	14-

	34-
		&2

(А1.1)

(Al.la)

(А1.2)

Эти выражения поясняют понятия матрицы и матричного умножения. Матрицы определяются как массивы чисел указанного в (А 1.2) типа. Массив в виде одного столбца чисел часто называется вектором или матрицей-столбцом. Умножение матрицы на матрицу-столбец записывается в виде (А1.1) или (Al.la).

Если для тех же самых постоянных, но других векторов х

и b справедливо другое соотношение:

а„Х; + 12*2 + 13*3 + 14-< = -V\ + 2-2-< + 23*3 + 24*4 = V\ + 32*2 + 33*3 + 34< = bv

ТО формулой где

[л]т=[в],

[В] =

объединяются соотношения (А1.1) и (А1.3):

, &3

(А1,3) (А1.4)

(А1.5)

П*1+	, а х\+...-
21*1 +	, 2,<+...	&2
31*1 +	, аз,х; + ...

(А 1.4а)

Отсюда видно, что матрицы равны только тогда, когда равны между собой все их элементы.

Записанные соотношения справедливы и для умножения полных матриц. Очевидно, это умножение имеет смысл, если число столбцов матрицы [А] равно числу строк матрицы [x]. Одним из характерных свойств матричного умножения является его некоммутативность:

[А][Х\Ф[Х][А].

Матричное сложение и вычитание

Складывая соотношения (А1.1) и (А1.3), получаем

11 (*1 + *0 + 12 (*2 + 4) + 13 ( 3 + *з) + и (*4 + *4) =

= ui + bi,

2. (*1 + -О + 22 (*2 + К) + 23 (*3 + О + 24 ( 4 + О =

= 62 + б2,

31 (*1 + О + 32 (*2 + *2) + 33 (*3 + *з) + 34 (*4 + О =

= &3 + 6з,

что также следует из

[А] {х) + [Л] {*} = [А] {х + х'} = {Ь} + {Ь'} = {6 + Ь'},

(А1.6)

если определить сложение матриц как сложение их элементов. Ясно, что складывать можно лишь матрицы одинаковой размерности, например

LOsi 22 %J

или

L&2I

&12

&22 &23-

ви+би ai2 + 6l2 lJ+6l3 . 21 + &21 22 -f &22 гз + 23 -

[Л]+[В] = [С].

(А 1.7)

Каждый элемент матрицы [С] равен сумме соответствующих элементов [Л] и \В].

Вычитание производится по таким же правилам.

Транспонирование матрицы

Эта операция представляет собой переупорядочение чисел массивав соответствии с соотношением

21 31

13 23

-iT г

12 - 13

21 22 23

31 32

(А 1.8)

и обозначается символом Т.

Примеры использования этой операции будут указаны позднее. Пока же можно ограничиться только определением.

Обращение матрицы

Если матрица [А] в соотношении (А 1.1 а) квадратная, т. е. состоит из коэффициентов системы уравнений типа (А1.1), в которой число уравнений равно числу неизвестных, то неизвестные {х} можно выразить через известные коэффициенты {&}). Решение можно записать в виде

(А 1.9)

где матрица [Л]- называется обращением квадратной матрицы [А]. Ясно, что матрица [Л]~ тоже квадратная и ее порядок равен порядку матрицы [А].

Соотнощение (А 1.9) можно было бы получить, умножая обе стороны (Al.la) на [Л]-. Следовательно,

[АГ[А] = 11]=[А]1А]-

(А1.10)

) Это можно сделать только в том случае если определитель матрицы [Л] отличен от нуля. - Прим. ред.

где [/] - единичная матрица, все элементы которой, не стоящие на диагонали, равны нулю, а диагональные элементы равны единице.

Ясно, что если уравнения не имеют решения, то обратной матрицы не существует.

Сумма произведений

В задачах механики часто приходится иметь дело с такими величинами, как, например, силы, которые можно представить в виде матрицы-вектора

(А1.11)

Силы в свою очередь связаны с перемещениями, определенными другим вектором, скажем

(А1.12)

Известно, что работа равна сумме произведений сил на перемещения:

Очевидно, что здесь целесообразно использовать операцию транспонирования и в соответствии с первым правилом умножения матриц записать

W = [F f2,.... F,]

= {Fy{b}{6Y{F}. (A1.13)

Такая запись часто используется в книге.

Транспонирование произведения

Иногда приходится транспонировать произведение матриц. Читателю предоставляется возможность, основываясь на приведенных определениях, доказать, что

{[A]m=lBY[AV. (А1.14)

1 ... 23 24 25 [ 26 ] 27