Главная страница сайта
Российские промышленные издания (узловые агрегаты)
1 ...
23 24 25 [
26 ]
27 ПРИЛОЖЕНИЕ 20А
Приведенные программы являются подпрограммами формирования и решения уравнений итерационным методом Гаусса - Зейделя.
С
с с с
с с с
с с с
с с с
Программа 20-12
SUBROUTINE FORMK
Подпрограмма предназначена для формирования компактной матрицы К и соответствующей матрицы-указателя
C0MM0N/C0NTR/TITLE(12),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT, NSZF,LI,NT4
COMMON CORD( 100,2),NOP(200,4),IMAT(200),ORT(25,2),NBC(25),
NFIX(25) 1,RH200),S1(200,20),ISP(200,20) 2,ESTIFM(12,12)
Задание максимального числа членов
NMAX = 20 NOFF = 20
Задание нулевых массивов
DO 300 N = l.NSZF
DO 280 М = l.NMAX 280 SI(N,M) = 0
DO 290 M = 2,N0FF 290 ISP(N,M) = 0 300 ISP(N,1) = N
Обход no всем элементам
DO 400 N = l.NH CALL STIFT2(N)
Возврат к ESTIFM, как к матрице жесткости
Засылка ESTIFM в массив SI н члена-указателя в ISP
С С С
с с
с с
Обход сначала по строкам 1 = 0
DO 350 JJ= l.NCN
NROWB = (NOP(N,JJ) - I).NDF
DO 350 J=I,NDF
С С
С
с с
305 310
с с с
С
с с
с с
с
с
с с с
с с
NROWB = NROWB -f- 1
I = I-f 1
Затем обход по столбцам 11=0
DO 330 КК = l.NCN
NCOLB = (NOP(N,KK) - 1) NDF
DO 330 К = l.NDF
NCOLB = NCOLB -b 1
II = II-f 1
Поиск в ISP номера сто-тбца DO 310 M = 1,N0FF
IF(ISP(NROWB,M) - NCOLB) 305,320,305 IF(ISP(NROWB,M)) 315,315,310 CONTINUE
Поиск свободного места для хранения NCOLB ISP(NROWB,M) = NCOLB
Запись ESTIFM
SI(NROWB,M) = ESTIFM\I,II) -j- SI(NROWB,M)
Конец цикла по столбцам CONTINUE
Конец цикла по строкам CONTINUE
Коаец цикла по элементам CONTINUE
Учет граничных условий
DO 500N= 1,NB NX= 10..(NDF- 1) I = NBC(N)
NROWB = (I- 1).NDF
Проверка каждой степени свободы
DO490 М = I.NDF NROWB = NROWB -f 1 ICON = NFIX(N)/NX IF(ICON) 450,450,420
С С С
Запоминаине большого номера на диагонали
420 SI(NROWB,1) = SI(NROWB,1)>10..20 NFIX(N) = NFIX(N) - NX.ICON
450 NX = NX/10
490 CONTINUE
500 CONTINUE RETURN END
Программа 20-13
SUBROUTINE SOLVE
С Подпрограмма предиазначеиа для решения уравнений ятерацнон-С иым методом
C0MM0N/C0NTR/TITLE(12),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
COMMONa3RD(100,2),NOP(200,4),IMAT(200),ORT(25,2),NBC(25), NFIX(25)
1,R(200),A(200.20),ITEM(200,20),DIS(200) NT = 20
Задание коэффициента релаксации и точности
T0LER = .lE-3 RELAX =1.8
Прн отрицательном числе уравнений пропуск задания начальных данных
IF(NEQ.LT.0)G0 ТО 310
DO 300 N = l.NEQ DO 250 М= 1,NT IF(ITEM(N,M).NE.O) GO TO 250
Массив 1TEM(N,1) содержит счетчик расстояния от диагонали
С С
с с с с
с с с с
с с с
ITEM(N,1) = M- 1
GO ТО 260 250 CONTINUE 260 CONTINUE 300 CONTINUE 310 NEQ=5=IABS(NEQ)
Задание максимального количества циклов
NCYC = NEQ/2 IF(NCYC.LT.25)NCYC = 25
С С С С
С С С С
I Задание нулевого массива неизвестных
DO 320 N = l.NEQ IF( А( N, 1 ).NE.O.)A( N,1) = 1 ./A(N, 1) 320 DIS(N) = 0.
I Начало цикла по циклам
DO 500 NC = l.NCYC SUM = 0. SUMD = 0.
I Начало цикла по уравнениям
DO 450N=l,NEQ FX = R(N) NUM = ITE.M(N,1) DO 330 M = 2,NUM L = ITEM(N,M) 330 FX = FX-A(N,M).DIS(L)
FX - общее отклонение от RHS DX - измененное значение
DX = A(N,1).FX-D1S(N) DIS(N) = DlS(N) + RLAX.DX
SU.Vl и SUMD - параметры, характеризующие сходимость
С С С
е
с
С
с с с
SUM = SUM + ABS(DX) SUMD = SUMD + ABS(DIS(N)) 450 CONTINUE
Выход аз цикла арн достижении сходимости ND = NC
IF(SUM.LT.SUMD.TOLER) GO ТО 550 500 CONTINUE
Пересылка окончательных результатов в массив R
550 DO 600 N = l.NEQ 600 R(N) = DIS(N)
Печать последнего значения суммы а т. д.
WRITE(6,10),ND,SUM,SUMD FORMAT(20H0 LAST CYCLE NO. = ,110 1, / 20H (SN-SN-1)/SN =,EI0.3
2, / 20Н
RETURN
SN =,EI0.3)
ПРИЛОЖЕНИЕ 20Б
Приведенные программы являются подпрограммами составления и решения уравнений методом редкозаполненных матриц (фронтальным методом).
С С С
с с
с с с
Программа 20-14
SUBROUTINE FORMK
Программа предназначена для формирования верхнего треугольника компактной матрицы и матрицы-указателя
C0MM0N/C0NTR/TITLE(12),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT, NSZF,LI,NT4
COMMON CORD( 100,2),NOP(200,4),IMAT(200),ORT(25,2),NBC(25),
NFIX(2S) 1,R1(200),SI(200,20),ISP(200,20) 2.ESTIFM(12,12)
Задание максимального числа членов
N MAX = 20 NOFF = 20
С С С
С С С
С С С С С С
Задание нулевых массивов
DO 300 N = l.NSZF
DO 280 М = l.NMAX 280 SI(N,M) = 0.
DO 290 M = 2,N0FF 290 ISP(N,M) = 0 300 ISP(N,I) = N
Обход no элементам
DO 400 N = 1,NE CALL STIFT2(N).
Возврат к ESTIFM как к матрице жесткости Засы.таа ESTIFM в SI и члена указателя в ISP
Обход сначала по строкам
С С С
С С С
DO 350Л= l.NCN NROWB = (NOP(N,JJ) - 1 ).NDF DO 350 J= l.NDF NROWB = NROWB + 1
I = 1-1-1
Затем обход по столбцам ESTIFM
II = 0
DO 330 КК = l.NCN NCOLB = (NOP(N,KK) - 1 )NDF DO 330 К = l.NDF NCOLB = NCOLB -)- 1 11 = 11-1-1
Пропуск, ес.ти член лежит ниже диагонали
IF(NCOLB - NROWB) 330,302,302 302 CONTINUE
С С
с
Поиск в ISP номера столбца
DO 310 М= 1,N0FF IF(ISP(NR0WB,M)- NCLOB) 305.320,305 305 IF(ISP(NROWB,M) 315,315,310 . 310 CONTINUE .
: Поиск свободного места для хранения NCOLB
315 ISP(NROWB,M) = NCOLB : Запись ESTIFM
320 SI(NROWB,M) = ESTIFM(I,II) + SI(NROWB,M)
С Конец цикла по столбцам
330 CONTINUE С Конец цикла по строкам
350 CONTINUE С Конец цикла по элементам
400 CONTINUE
С
С Учет граничных условий С
DO 500 N= 1,NB NX=10< (NDF-1) I = NBC(N) NROWB = (I - 1).NDF
С С
С
с с
проверка каждой степени свободы
DO 490 М= l.NDF NROWB = NROWB + 1 ICON = NFIX(N)/NX IF(ICON) 450,450,420 .
Запоминание большого номера иа диагонали
С С
420 SI(NR0WB,1) = SI NROWB,1).10..20
NFIX(N) = NFIX(N) - NX.ICON 450 NX = NX/10 490 CONTINUE 500 CONTINUE
RETURN
Программа 20-15
SUBROUTINE SOLVE Решает методом редкозаполненных матриц
C0MM0N/C0NTR/TITLE(12),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT, NEQ,L1,NT4
COMMON CORD(100,2),NOP(200,4),IMAT(200),ORT(25,2),NBC(251, NFIX(25)
1,R(200),A(200,20),ITEM(200,20),IMET(200) NT = 20
С С
с с
с с с с
Пропуск, если число уравнении отрицательно Составление полной матрицы ITEM
IF(NEQ.LT.O) GO ТО 360 SYM 3
В противном случае заполнение ITEM по мере необходимости
DO 220 M=l,NT SYM 6
220 IMET(M) = ITEM(1,M) SYM 7
DO 340 N = 2,NEQ SYM 8
DO 280 M = I,NT SYM 9
IF(IMET(M)-N-f 1) 225,280,225 SYM 10
225 DO 240 L = 1,NT SYM И
IF(ITEM(N,L)) 230,260,230 SYM 12
230 IF(ITEM(N,L)-IMET(M)) 240,280,240 SYM 13
240 CONTINUE SYM 14
WRITE(6,i00)N SYM 15 100 FORMAT(43H ALLOWABLE SPACE EXCEEDED IN
EQUATION TABLE, 14) SYM 16
STOP SYM 17
260 ITEM(N,L =IMET(M) SYM 18
280 CONTINUE SYM 19
300 DO 320 M=1,NT SYM 20
320 IMET(M) = ITEM(N,M) SYM 21
С
с
С
С С С
С С
с
С
с с
370 380 400
340 CONTINUE 360 NEQ = IABS(NEQ) NEQM = NEQ- 1
Начало цикла по уравнениям
DO 520 I = 1,NEQM
Модификация вектора RHS
R(I) = R(I)/A(I,1)
Цикл по строкам необходимо исключить
DO 460 M = 2,NT IN = 1TEM(I,M) IF(IN) 365,480,365
Найти соответствующие строки
DO 380 N = 1,NT IA = 1TEM(IN,N) IF(IA) 370,400,370 IMET(IA) = N CONTINUE CONTINUE TEMP = A(I,M)/A(I,1)
Цикл no столбцам необходимо исключить
DO 420 N = I,NT IA = ITEM(I,N) IF(IA) 405,440,405 405 IF(IA-IN) 420,410,410 410 IM = IMET(IA)
Модификация элемента матрицы
A(IN,IM) = A(IN,IM) - TEMP.A(I,N) 420 CONTINUE
Модификация вектора нагрузки
440 R(1N) = R(IN)-R(I).A(I,M) 460 CONTINUE 480 CONTINUE
Пересылка строки для обратного хода
DO 500 M = 2,NT
A(I,M) = A(I,M)/A(I,1) 500 CONTINUE Б20 CONTINUE
R(NEQ) = RINEQ)/A(NEQ,1)
С С С
С С С
С С С
С С С
SYM 22 SYM 23 SYM 24
SYM 25
SYM 26
SYM 27 SYM 28 SYM 29
SYM 30
SYM 31
SYM 32
SYM 33
SYM 34
SYM 35
SYM 36
SYM 37
SYM 38
SYM 39
SYM 40
SYM 41
SYM 42 SYM 43
SYM 44 SYM 45 SYM 46
SYM 47
SYM 48
SYM 49
SYM 50
SYM 51
С С С
Обратный ход
DO 560 1В= 1,NEQM
I = NEQ-1B
DO 540 M = 2,NT
J = ITEM(1,M)
IF(J) 540,560,540 540 R(I) = R(I)-A(I,M).R(J) 560 CONTINUE
RETURN
SYM 52
SYM 53
SYM 54 SYM SYM
SYM 57
SYM 58
SYM 59
SYM 60
55 56
ПРИЛОЖЕНИЕ 20B
В ЭТОМ приложении приведен ряд подпрограмм, которые можно использовать для решения очень большого числа уравнений при ограниченной максимальной половине ширины ленты. Эти подпрограммы несовместимы с описанными ранее.
Как уже отмечалось в последней части подразд. 20.5.1, составление ансамбля и исключение выполняются параллельно и исключение жесткостных уравнений узла осуществляется сразу же после их составления. Подпрограмма SOLV используется для построчного исключения (число строк равно числу степеней свободы узла), а подпрограмма BSUB - для осуществления обратного хода, при котором вычисляются и реакции в граничных точках. Подпрограммы STORE и RDBK -две небольшие подпрограммы для запоминания и считывания модифицированных уравнений. Эти модифицированные уравнения не записываются по мере их составления на ленту, а временно хранятся во внешней памяти и записываются в виде блока при заполнении памяти. Подпрограмма INIT образует индексы, необходимые в вышеупомянутых подпрограммах. Она вызывается перед началом решения задачи.
а) Блок-схема подпрограммы 1NIT
Образование контрольных переменных
Вычисление длины записи
Возврат в основную программу
б) Блок-схема подпрограммы STORE
Проверка места во внешней памйти
Нет
Переписка данных ио памяти на ленту
Возврат в исходное положение счетчика индексов
Последовательная запись уравнений и граничных переменных вовнешнюю память с соответствующими индексами
Возврат в основную программу
в) Блок-схема подпрограммы RDBK
Проверка, находится ли еще^ запись во внешней ламяти
Нет
Прокручивание ленты в обратном HanpaCj нии и считывание в новый блок
Возврат в исходное положение счетчика индексов
Считывание уравнения, граничных переменных и соответствующих индексов
Возврат в основную программу
г) Блок-схема подпрограммы SOLV
Начало иинла по степеням свободы
Нет
Заданы ли | перемещения ? |
| |
включение заданных значений |
в вентор нагризни |
- Модификация рассматриваемого уробнения
Запоминание уравнения
Исключение уравнений в соответствии с (20.3)и (20.i)
((ересыпна полученных матриц нОЗад в исходное положение
Нонец цинпа по степеням свободы
Возврат в основную программу
д) Блок-схема подпрограммы BSUB
Начало цикла по всем уравнениям
Введение уравнения и граничных переменных \
Осуш,еотвление офютного хода
нет
-л-\оть ли в уравнении заданные перемещения ?
Завись номера узяа и компоненты реакции
Подстановка вычисленных ипи заданных значений матрицу перемещений
Смещение известной матрицы перемещений на odiy позицию вниз
Конец цикла по уравнениям \
Запись матрицы перемещений
Возврат в основную проврамму
Обозначения переменных в подпрограммах 20-16 -~ 20-20
NBAND | Максимальная величина половины ширины |
| ленты |
| Число степеней свободы узла |
| Переменная для проверки граничных точек |
| Переменная для проверки заданных компонент |
| перемещений |
| Заданное значение |
NCOLN | Количество столбцов нагрузки (векторов) |
| Массив жесткости |
| Массив нагрузок (перемещений) |
| Объем внешней памяти |
С
с с
Программа 20-16
SUBROUTINE INIT (NBAND.NCOLN) Контрольное счетчики
COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X{8000)
Размеры X можно изменять
NA имеет тот же размер, что и X
NA = 8000 18=1
NBD = NBAND
NCOL = NCOLN
LRECL = NBD + NCOL + 3
NREC = 0
IF (LRECL-NA) 1,1,2 RETURN
WRITE(6,4) LRECL.NA 0 FORMAT (OLOGICAL RECORD LENGTH 0FM6,EXCEEDS BUFFER SET AT, 1 16) STOP ENDT
С С
С С
Программа 20-17
SUBROUTINE STORE (ST,P,NR,BN,BV) DIMENSION ST(60,60),P(60,2)
COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X(8000)
Проверка возможности размещения во внешней памяти программы автоматического разбиения на элементы
1F(IS +LRECL-NA) 5,5,50 Место во внешней памяти
б DO 10 I = l.NBD X(IS) = ST(1,I)
10 IS = IS + 1
DO 15 I = l.NCOL X (IS) = P(1,I)
С С
С С
IS = IS+1 X(IS) = NR X(1S + 1) = BN X(IS + 2) = BV IS = IS + 3 RETURN
Нет места во внешней памяти
L = IS- 1
WRITE(2) (X(J),J = 1,L) Канал 2 внешней памяти
IS= 1
NREC = NREC + 1
GO TO 5
С С
С
с
С
с
40 41
Программа 20-18
SUBROUTINE RDBK (ST,P,NR;BN,BV) DIMENSION ST(60,60),P(60,2)
COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X(8000) Проверка нахождения следующей записи во внешней памяти
IS =18-LRECL IF(IS-I) 40,12,12
Запись находится во внешней памяти
12 DO 1! 1 = 1, NBD ST (1,I) = X(1S) IS = IS + 1 DO 15 1 = 1, NCOL P (1,I) = X(IS) IS = IS + 1 NR = X(IS) BN = X(IS + 1) BV = X(IS + 21 IS= IS+ 3-LRECL RETURN
Необходимо считывать последний записанный блок
IF (NREC) 100,100,41 NREC = NREC -1 BACKSPACE 2 READ (2) (X(J),J=!,L) BACKSPACE 2 IS=L + 1 GO TO 10
Нелогичная ошибка
С С
100 WRITE (6,101)
10! FORMAT(0 ATTEMPT ТО READ BACK TOO MANY RECORDS.) STOP END
С С
с с с с
с
с
Программа 20-19
SUBROUTINE SOLV
COMMON DIS(720,2),ST(60,60),Q(60,2),P(6a,2),PST(2),BN(2),BV(2) COMMON NDF,NBAND,NSIZ,NDFI,NP,NELEM,NCOLN,NDATA
NCOLN - число столбцов нагрузки NR = I - узлы с граничными условиями BN - 1 - закреплено, О - свободно BV - заданные перемещения NBAND - половина ширины ленты NDF - чисто степеней свободы
С С
С
с
NDFI = NDF + 1,NSIZ = NBAND - NDF
DO 111 JJ= l.NDF
Проверка граничных условий
IF(NR.NE.l) GO TO 58
IF (ABS(BN(JJ)).LT..00O01) GO TO 58
ST!!=0
DO 5 J=!,NCOLN
5 PST(J) = BV(JJ) DO 8 J= 1,NCOLN
8 P(I,J) = -BV(JJ) + P(1,J)/ST(!,!)
DO 4 I = 2,NBAND: 4 ST(1,I) = ST(1,I)/ST(1,I)
ST(!.1) = -ST(1,1)
GO TO 60
Уравнение без граничных условий
58 STU = 1,/ST(!,1) DO 6 J= 1,NCOLN
6 PST(J) = P(!,J).ST!1 ST(!,1) = ST!1
60 CALL STORE (ST,P,NR,BN(JJ),BV(JJ))
DO 1! I=2,NBAND
DO 16 J= 1,NCOLN 16 P(I,J) = P(I,J)-ST(!,I).PST(J)
Составление модифицированной матрицы нагрузки
DO 1! J = 2,NBAND 11 ST(I,J) = ST(I,J) - ST(1,I).ST(1,J) ST11
Составление модифицированной матрицы жесткости
DO 14 I = 2,NBAND DO 15 J = l,NCOLN P(I-1,J) = P(I,J)
15P(I,J) = 0
DO 14 J = 2,NBAND
ST(I- 1, J- 1) = ST(I,J)
ST(! - I,J) = 0
ST(I,J~1) = 0 , 14 ST(J,J) = 0
Смещение в исходное положение
CONTINUE
RETURN
С С
С С
Программа 20-20
SUBROUTINE BSUB
COMMON DIS(720,2),ST(60,60),Q(60,2),P(60,2),PST(2),BN(2),BV(2) COMMON NDF,NBAND,NSIZ,NDF1,NP,NELEM,NC0LN,NDATA
NP - число узлов
NP2 = NDF.NP DO 30 II = 1,NP2 M = NP2 - II
CALL RDBK(ST,P,NR,BNJJ,BVJJ)
Выполнение обратного хода
С С
DO 11 J= 1,NC0LN
DO 11 I = 2,NBAND 11 P(1,J) = P(1,J)-ST(1,I).P(I,J)
DO 2 J = 1,NC0LN
P(1,J) = P(!,J).ST(1,1)
IF (NR.NE.l) GO TO 88
IF (BNJJ) 90,88,90 90 LK = M/NDF + 1
Запись номера узла и вычисленной реакции
WRITE(6,10) LK,P(LJ) 10 FORMAT(I4,E16.8) DIS(M + 1,J) = BVJJ P(!,J) = BVJJ GO TO 2 88 DIS(M + 1,J) = P(1,J) 2 CONTINUE
Смещение известной матрицы перемещений
DO 4 I = 2,NBAND L = NBAND - I + 1 DO 4 J = l.NCOLN 4 P(L+4,J) = P(L,J) 30 CONTINUE WRITE(6,!5)
15 F0RMAT(16H X-DISPLACEMENT, 16H Y-DISPLACEMENT) 34 WRITE(6,7) ((DIS(I,J),I = 1,NP2),J=!,NC0LN) 7 F0RMAT(2E168)
RETURN
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
Для понимания содержания этой книги и проведения необходимых вычислений требуется знание лишь некоторых основных определений матричной алгебры.
Определение матрицы
Линейное соотношение между совокупностью переменных х
21*1 + 22*2 + 23*3 + 24*4 = h, 31*1 + 32*2 + 33*3 + 34 4 = h
можно записать более кратко:
[А] {х}{Ь},
где
{х} =
Xi>l
Xs Хз Xi
(А1.1)
(Al.la)
(А1.2)
Эти выражения поясняют понятия матрицы и матричного умножения. Матрицы определяются как массивы чисел указанного в (А 1.2) типа. Массив в виде одного столбца чисел часто называется вектором или матрицей-столбцом. Умножение матрицы на матрицу-столбец записывается в виде (А1.1) или (Al.la).
Если для тех же самых постоянных, но других векторов х
и b справедливо другое соотношение:
а„Х; + 12*2 + 13*3 + 14-< = -V\ + 2-2-< + 23*3 + 24*4 = V\ + 32*2 + 33*3 + 34< = bv
ТО формулой где
[л]т=[в],
[В] =
объединяются соотношения (А1.1) и (А1.3):
, &3
(А1,3) (А1.4)
(А1.5)
П*1+ | , а х\+...- | | |
21*1 + | , 2,<+... | | &2 |
31*1 + | , аз,х; + ... | | |
(А 1.4а)
Отсюда видно, что матрицы равны только тогда, когда равны между собой все их элементы.
Записанные соотношения справедливы и для умножения полных матриц. Очевидно, это умножение имеет смысл, если число столбцов матрицы [А] равно числу строк матрицы [x]. Одним из характерных свойств матричного умножения является его некоммутативность:
[А][Х\Ф[Х][А].
Матричное сложение и вычитание
Складывая соотношения (А1.1) и (А1.3), получаем
11 (*1 + *0 + 12 (*2 + 4) + 13 ( 3 + *з) + и (*4 + *4) =
= ui + bi,
2. (*1 + -О + 22 (*2 + К) + 23 (*3 + О + 24 ( 4 + О =
= 62 + б2,
31 (*1 + О + 32 (*2 + *2) + 33 (*3 + *з) + 34 (*4 + О =
= &3 + 6з,
что также следует из
[А] {х) + [Л] {*} = [А] {х + х'} = {Ь} + {Ь'} = {6 + Ь'},
(А1.6)
если определить сложение матриц как сложение их элементов. Ясно, что складывать можно лишь матрицы одинаковой размерности, например
LOsi 22 %J
или
L&2I
&12
&22 &23-
ви+би ai2 + 6l2 lJ+6l3 . 21 + &21 22 -f &22 гз + 23 -
[Л]+[В] = [С].
(А 1.7)
Каждый элемент матрицы [С] равен сумме соответствующих элементов [Л] и \В].
Вычитание производится по таким же правилам.
Транспонирование матрицы
Эта операция представляет собой переупорядочение чисел массивав соответствии с соотношением
21 31
13 23
-iT г
п
12 - 13
21 22 23
31 32
(А 1.8)
и обозначается символом Т.
Примеры использования этой операции будут указаны позднее. Пока же можно ограничиться только определением.
Обращение матрицы
Если матрица [А] в соотношении (А 1.1 а) квадратная, т. е. состоит из коэффициентов системы уравнений типа (А1.1), в которой число уравнений равно числу неизвестных, то неизвестные {х} можно выразить через известные коэффициенты {&}). Решение можно записать в виде
(А 1.9)
где матрица [Л]- называется обращением квадратной матрицы [А]. Ясно, что матрица [Л]~ тоже квадратная и ее порядок равен порядку матрицы [А].
Соотнощение (А 1.9) можно было бы получить, умножая обе стороны (Al.la) на [Л]-. Следовательно,
[АГ[А] = 11]=[А]1А]-
(А1.10)
) Это можно сделать только в том случае если определитель матрицы [Л] отличен от нуля. - Прим. ред.
где [/] - единичная матрица, все элементы которой, не стоящие на диагонали, равны нулю, а диагональные элементы равны единице.
Ясно, что если уравнения не имеют решения, то обратной матрицы не существует.
Сумма произведений
В задачах механики часто приходится иметь дело с такими величинами, как, например, силы, которые можно представить в виде матрицы-вектора
(А1.11)
Силы в свою очередь связаны с перемещениями, определенными другим вектором, скажем
(А1.12)
Известно, что работа равна сумме произведений сил на перемещения:
Очевидно, что здесь целесообразно использовать операцию транспонирования и в соответствии с первым правилом умножения матриц записать
W = [F f2,.... F,]
= {Fy{b}{6Y{F}. (A1.13)
Такая запись часто используется в книге.
Транспонирование произведения
Иногда приходится транспонировать произведение матриц. Читателю предоставляется возможность, основываясь на приведенных определениях, доказать, что
{[A]m=lBY[AV. (А1.14)
1 ...
23 24 25 [
26 ]
27