Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 ... 27

СВобоЗте опирание пластины

О Сетка 2*2 Д Сетно AtB)

Ч Сетка 4 4 Сетка 6 6 (В) о Сетка в 8 л Нерегулярная сетка ( ВО элементов)

- юоо

Фиг. 10.10. Прогибы вдо.чь центральной линии квадратной пластины (треугольные элементы).

Сосредоточен-

\1257P

.Шиое значение asppmPi -Защемление

Распределенная

очное значение -Ш

Фиг. 10.11. Квадратная пластина. Распределение вдоль центральной лннин (треугольные элементы).

О средине значения (прн линейном законе изменения);---действительное распре.

деление в элементах.

Эашемление

0,1875i

Место прияоженил сосредоточенной нагрузки р

РаЗиус 8

= 0,1766L

Фиг. 10.12. Квадратная пластина с отверстием Линии равных безразмерных прогибов wD/pL. Треугольные элементы.

10.8.8. Некоторые практические приложения

Вычислительная программа расчета, особенно основанная на использовании треугольных элементов, широко применяется на практике. С ее помощью легко можно рассчитывать плиты фундамента, настилы мостов или обшивки кораблей.

Одной из широко распространенных на практике задач является задача расчета мостовых конструкций, для решения которой очень часто применяется метод конечных элементов. Иа фиг. 10.14 приведена автоматически вычерченная схема распределений напряжений многопролетного моста.

Мост более сложной формы показан на фиг. 10.15 и 10.16. Результаты расчета представлены в виде автоматически вычерченных изостат. При расчете предполагалось, что нейтральные оси парапета совпадают с нейтральной осью настила. Балочные элементы для расчета парапета без труда соединяются с плоскими, и результирующая система уравнений для всего анса.мб-ля получается обычным путем, описанным в гл. 1,

Фиг. 10.13. Квадратная пластина. Линии равных углов наклона 0 = dw/dx- -D/PL. о-вычисленные значения 6 10; 6-результаты исследования ыетодом муаровых полос (l полоса=0,213 Ю *)*

Поперечит ееченае

91,5 см

Проезжая часть

ippami/ap*

Фнг. 10.14.

Ж >v X X X +

X X Ч, V у >су Н \ X X Ч^----><-г^---X-х^-/-/.Ук-х-------с--х--X

Двухпролетный косой мост переменной толщины. Построенная ЭВМ картина распределения главных моментов

под действием собственного веса.

HopdSneHue

. UasuSame

----.Л.--х--

у

o.giM

		illy

Фиг. 10.15. Кастлтонский мост. Общая геометрия и схема разбиения на конечные элементы. Края моста свободно оперты без стеснения поворотов. Опоры учитываются как искусственные утолщения затемненных участков, прогиб которых ограничен величиной v = 0,17. а-типичное реальное сеченне; б -использованн?я идеализация.

СОГЛАСОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ФОРМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ В УЗЛОВЫХ ТОЧКАХ

10.9. Общие замечания

В разд. 10.5 было показано, что для элемента с тремя степенями свободы в узлах невозможно построить функцию формы в виде простого полинома, которая удовлетворяла бы требованиям непрерывности угла наклона. Введение в узлах параметров кривизны имеет, однако, тот недостаток, что накладывает на функции чрезмерные требования непрерывности. Более того, по многим причинам желательно, чтобы общее число узловых переменных не превышало трех. В этом случае, основываясь на простой физической интерпретации, от плоских элементов для расчета пластин легко перейти к элементам для расчета оболочек. Кроме того, при трех узловых переменных упрощаются вычисления.

Фиг 10.16. Компоненты моментов (тм/м) для изображеипого на фиг 10.15 моста при действии равномерно распределенной нагрузки 7,16-10 Н/м1 Вычерченные ЭВМ лннин равных моментов. Видно, что в рассмотренном примере мост в основном работает на изг[(б.

Еще один простой способ состоит во введении дополнительных функций формы, производные второго порядка которых в узлах неоднозначны. При условии, что они не обращаются в бесконечность, сходимость гарантируется.

Рассмотрим функции формы для треугольных и четырехугольных элементов. Простой прямоугольный элемент исследоваться не будет.

10.10. Сингулярные функции формы для простого треугольного элемента

Рассмотрим, например, любую из двух систем функций

823 =

ИЛИ

823 =

L,LlLl{y + L,)

и т. д.

(10.28)

(10.29)

Эти функции и их производные по нормали вдоль двух сторон треугольника 1-2 и 1-3 (фиг. 10.17) обращаются в нуль. На третьей стороне 2-3 эти функции также принимают нулевые

(L,+i.j)(/ +I,)

Фиг. 10.17. Некоторые особые функции i-координат.

значения, но нормальные производные отличны от нуля н изменяются по параболическому закону. Вторая из этих функций показана на фиг. 10.17, а.

Все функции, использованные для задания несогласованного треугольника [см. выражение (10.25)], имеют третий порядок и, следовательно, допускают параболический закон изменения нормальной производной, который неоднозначно определяется двумя краевыми узловыми значениями (результатом чего и является несогласованность). Однако если в качестве еще одной переменной задать значение нормальной производной w в середине каждой из сторон, то, комбинируя новую функцию е с введенными ранее функциями, можно получить однозначный параболический закон изменения нормальной производной на гра-

иицах между элементами, т. е. построить согласованный элемент.

Очевидно, что для достижения согласованности нужно добавить трн такие дополнительные степени свободы в выражение

Фиг. 10.18. Различные согласованные треугольные элементы.

dw д'ху Sw д^ш \ ву а* Зу 9хду)С

(10.25) и выполнить все описанные ранее операции. В результате получается показанный на фиг. 10.18, а элемент с шестью узлами, три из которых - обычные угловые узлы, а три -дополнительные узлы,в которых заданы только значения нормальных производных.

Такие элементы несколько затрудняют составление ансамбля, так как число степеней свободы в каждом узле различно.

Чтобы избежать этого затруднения, можно устранить степень свободы дополнительных узлов. Например, можно положить, что величина нормальной производной в середине стороны равна среднему арифметическому значений этой производной на концах стороны. В результате получим согласованный элемент с таким же числом степеней свободы, как и у описанного в предыдущих, раздел ах элемента (фиг. 10.18,6).

Построение соответствующей функции формы довольно громоздко, поэтому оно здесь пе приводится. Проще поступить следующим образом.

Во-первых, нормальные производные в середине сторон определяются из основных функций формы элемента [соотношение (10.26)] в виде

(dw \ \ дп Л

= [2]{6Г.

(10.30)

средние арифметические значения нормальных производных в углах тоже вычисляются по этим функциям и записываются как

V дп Л

(10.31)

Вклад функций е в значения этих производных пропорционален величине 823Y1 и т. д., т. е. (так как сами они имеют единичную нормальную производную) просто равен

{у}=ЬЛ. (10.32)

Определяя из соотношения

[Y\{bY = lZ]{bY + {y} (10.33)

величину Y и учитывая (10.26), получаем

да = [/У°]{бГ + [82з, ез .е,з]([П-[2]){бГ. (10.34)

Здесь [/V°] - определенные ранее несогласованные функции формы.

Таким образом, соотношение (10.34) определяет искомые функции формы.

Другой способ получения согласованных треугольников был разработан Клухом и Точером [3]. Как показано на фиг, 10.18, а, сначала каждый треугольник разделяется на три треугольника с общей вершиной во внутренней точке Р. Для каждого из новых треугольников записывается полный полином третьей степени, содержащий десять членов. Окончательное представление должно быть выражено через девять обычных степеней свободы в точках 1, 2, 3 и три нормальные производные в точках 4, 5, 6. Так как в каждой угловой точке исходного треугольника функции формы смежных треугольников должны принимать одинаковые значения, получаются две системы уравнений а в итоге 9Х2-Ь3 = 21 уравнение. Кроме того, условия непрерывности перемещений и производных в центральной точке Р дают еще шесть дополнительных уравнений, а условия непрерывности производных в середине внутренних сторон -еще три уравнения.

В результате получаем тридцать уравнений для определения тридцати неизвестных, что достаточно для определения функции формы и, следовательно, построения элемента с двенадцатью степенями свободы, аналогичного описанному ранее.

Наложение ограничений на нормальные производные в середине внешних сторон позволит сократить число степеней свободы до девяти.

Эти же элементы можно получить, если задать в углах два значения вторых производных. Введенные ранее функции формы семейства е фактически имеют различные производные в углах по разным направлениям.

В работе [4] треугольники Клуха и Точера построены с помощью другой системы функций е.

Оба рассмотренных типа треугольников дают почти одинаковые числовые результаты, поэтому предпочтение нужно отдавать элементам, приводящим к более простым вычислениям. При использовании численного интегрирования (что настоятельно рекомендуется для таких элементов) выгоднее применять непрерывные по всему треугольнику функции формы, определяемые соотношениями (10.28) и (10.29).

10.11. Треугольный элемеит с восемнадцатью степенями свободы и согласованными функциями формы

На фиг. 10.18,6 изображен элемент, представляющий собой несколько усовершенствованный вариант элемента, показанного на фиг. 10.18, а. За счет того, что, кроме нормальной производной dw/dn, в середине сторон элемента рассматриваются еще значения ш и смешанной производной dw/dsdn, число степеней свободы увеличивается с двенадцати до восемнадцати.

С точки зрения вычислений этот элемент более выгоден, так как теперь число степеней свободы в каждом узле одинаково. Требование непрерывности смешанных производных в середине сторон не является дополнительным ограничением, так как оно с физической точки зрения вполне естественно.

Способ построения этого элемента описан Айронсом [7]. Здесь достаточно сказать, что, кроме рассмотренных видов функций, используются еще члены четвертого порядка показанного на фиг. 10.6, г типа и функции, характеризующие скручивание (фиг. 10.17,6). Легко убедиться, что функция формы для такого элемента, кроме сингулярной функции, содержит все пятнадцать членов полинома четвертой степени.

10.12. Согласованные четырехугольные элементы

Любой из рассмотренных треугольников можно использовать для построения согласованных четырехугольных элементов с внутренними степенями свободы или без ннх. Три таких четырехугольника показаны иа фиг. 10.19, причем ни в одном из них

Фиг. 10.19. Некоторые составные четырехугольные элементы, а-внутренних степеней свободы нет; б -3 внутренние степени свободы; в-7 виутрен-них степеней свободы.

на внешних сторонах нет дополнительных узлов. Таким путем удается избежать уже упоминавшихся трудностей, которые возникают прн составлении ансамбля.

Первый из элементов не имеет внутренних степеней свободы, п поэтому он, по-видимому, не обладает никакими преимуществами по сравнению с треугольниками с таким же числом сте-

пеней свободы. Два следующих элемента имеют соответственно 3 и 7 внутренних степеней свободы. Условия непрерывности нормальной производной в последнем нз этих элементов не затрудняют составления ансамбля, так как внутренние степени свободы всегда исключаются. В работе Клуха и Фелиппы [21] показано, что при использовании таких элементов точность значительно увеличивается.

Возможный прямой способ построения четырехугольного лемента предложен Сандером [5] и Вёбеке [6, 22]. Он состоит

Фиг. 10.20. Согласованные функции, предложенные Вёбеке.

в следующем. В четырехугольном элементе (фиг. 10.20) перемещение представляется в виде суммы трех функций

ш = + ш* + ш^

где первое слагаемое W представляет собой полный полином третьего порядка с десятью постоянными:

ш' = 0,4-02*4- +aioif- (10.35)

Вторая функция задается кусочно. В нижнем треугольнике (фиг. 10.20,6) она считается равной нулю, а в верхнем имеет вид кубичного выражения с тремя постоянными, что позволяет без нарушения непрерывности угла наклона осуществить переход к нижнему треугольнику. Следовательно, в локальных координатах х', у' для треугольника /А/и имеем

w = о / + a,iy + о,зД; 2. (10.36)

Аналогично и третья функция (фиг. 10.20, в) ш' = О в нижнем треугольнике, а в треугольнике imj

= 0,4У 2 + 0,5l/ 3 + 16 (10.37)

Таким образом, три обычные узловые переменные в ушах четырехугольника и нормальные производные в узлах в середине сторон представляют собой шестнадцать внешних степеней свободы, задание которых позволяет определить шестнадцать постоянных 01-16. В результате обеспечивается согласованность, но в углах вновь вознт1кяет неоднозначность втопых произвотных.

При желании' можно наложить связи на значения переменных в узлах в середине сторон и получить элемент с двенадцатью степенями свободы.

Как показал Вёбеке [22], функцию можно представить в явном виде и, таким образом, построить элемент.

Если один из углов четырехугольника входящий, то элементы такого типа построить нельзя. Это не очень серьезное ограничение, но его приходится учитывать, когда элементы вырождаются в близкую к треугольнику форму.

10.13. Несколько примеров решений с согласованными элементами

Сходимость и точность различных элементов, описанных здесь, многократно обсуждались в литературе. В этом плане особенно полезны работы [3, 4, 21].

На фиг. 10.21 сходимость результатов при использовании двух простых, но несогласованных элементов, расссмотренных в

/4,А

5.6
/ -
	г

свободное опирание

п

Защемление

Фиг. 10.21. Сравнение различных решений методом конечных э.тементов задачи о квадратной пластине, в центре которой приложена нагрузка Р (я -число элементов на половину стороны а и р = wD/Pa).

---несогласованный прямоугольник, 12 степеней свободы; -несогласованный Треугольник, 9 степеней свободы;-----согласованный четырехугольник, 16 степеней свободы

(Вёбеке); + + +согласованный треугольник, 9 степеней свободы; - -согласованный четырехугольник (Клух), 12 степеней свободы (н 7 внутренних),

этой главе, сравнивается со сходимостью при использовании трех различных согласованных элементов.

Здесь следует сделать несколько замечаний. Во-первых, простейший согласованный треугольник при грубом разбиении приводит к довольно плохой аппроксимации и всегда худшей, чем эквивалентный несогласованный.

Во-вторых, тогда как решения, полученные при использовании согласованных элементов, всегда сходятся к точному снизу, так как в соответствии с теоремами гл. 2 они позволяют оценить нижнюю границу, решения, полученные при использовании несогласованных элементов и являющиеся обычно сходящимися сверху, могут давать ошибку любого знака.

Наконец, следует отметить, что к наилучшим результатам приводят четырехугольник Вёбеке (фиг. 10.20) и четырехугольник Клуха (фиг. 10.1Э,е).

СОГЛАСОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ФОРМЫ

С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

10.14. Функция формы Эрмита для прямоугольника

Для прямоугольного элемента, изображенного на фиг. 10.2, в качестве узлового параметра всегда можно ввести производную dwjdxdy, так как это не приводит к чрезмерным требованиям непрерывности. Легко показать, что для таких элементов нетрудно построить полиномиальные функции формы, обеспечивающие согласованность.

Степенное представление для и, содержащее шестнадцать постоянных (в соответствии с количеством узловых параметров), можно, например, записать, сохраняя члены не выше третьего порядка по каждой координате. Естественно, что существует много способов записи таких выражений, но некоторые из них могут приводить к необратимым матрицам [С].

Один из таких способов состоит в использовании полиномов Эрмита, позволяющих непосредственно записать соответствующую функцию. Полином Эрмита

Hli(x) (10.38)

есть полином порядка 2 --1, удовлетворяющий условиям

-=1, k - m для m = 0, 1, /I, при x = Xt

и

-==0, кфт, при x = Xj.

Множество полиномов Эрмита первого порядка, таким образом, представляет собой множество полиномов третьего порядка. Их обычно используют в качестве функций формы для линейного элемента i], узловыми переменными на концах которого являются значения функции и углы наклона.

На фиг. 10.22 показано такое множество полиномов третьего порядка.

аншс игла наклона = I

Фиг. 10.22. Функции Эрмита первого порядка. Легко проверить, что- функции формы

[Ni] = \ Н[\ (х) Я!,У (у), Я',У (X) ЯЙ (у),

Hihx)H?ny), HiHx)H[i(y)\ (10.39)

соответствуют функциям

dw dw dw

ду дх дх ду

и принимают единичные значения в узловой точке ( и нулевые - в остальных точках.

Элемент, основанный на этих функциях, построен Богнером и Шмитом [8] и довольно успешно использовался ими.

Дальнейшее усовершенствование этого элемента, состояшее во включении условий непрерывности производных высоких порядков, осуществляется весьма просто и описано в работе [9].

В ненскривленной форме такие элементы, как и все прямоугольные, применяются крайне редко.

10.15. Треугольники с двадцатью одной и восемнадцатью степенями свободы

Если потребовать выполнения в узлах условий непрерывности производных выше первого порядка (при этом, как пояснялось в разд. 10.3, накладываются определенные ограничения на неоднородность свойств), то нетрудно построить элементы, согласованные относительно прогиба и производной от него.

Если в качестве узловых степеней свободы принять величины

dw дх

dw dw

ду дх ду дх ду

то треугольный элемент будет иметь по крайней мере восемнадцать степеней свободы. Полный полином пятого порядка содержит двадцать один член. Следовательно, если добавить еще три степени свободы (нормальные производные) в середине сторон, то можно получить достаточное количество уравнений для нахождения функции формы.

На любой границе имеем шесть величин, определяющих закон изменения w (перемещение, производные и кривизну в угловых точках), т. е. полином пятой степени. Таким образом, закон изменения w определяется единственным образом и, следовательно, функция W непрерывна между элементами.

Аналогично производная dwidn задается пятью величинами и ведет себя, как полином четвертого порядка. Именно это и -Требуется для выполнения условий непрерывности деформаций и углов наклона между элементами.

Если записать полный полином пятой степени')

w = ai + a2X+ ... +a2i(/=,

(10.40)

то, следуя тем же рассуждениям, что и при построении прямоугольного элемента в разд. 10.4, можно записать

+ а у\.

У дх Ji

+ Эа 4- ... + 2a,gi/2 и т. д.

I) Рекомендуется записывать полином в обычных декартовых координа. тах, а не в L-координатах. Поскольку полином полный, симметрия сохраняется.

8 Зак, 613

и получить окончательное выражение {бГ=[С](а},

(10.41)

где [С] -матрица размерности 21 Х21.

Единственная трудность, которая может в дальнейшем встретиться, состоит в определении нормальных производных в узлах посередине сторон. Однако если заметить, что (фиг. 10.18)

dw дх

(10.42)

где -угол между рассматриваемой стороной и осью х, то процедура упрощается.

Обратить явно матрицу [С] нелегко, поэтому такие величины, как жесткость и др., вычисляются с помощью численного обращения.

Наличие на сторонах дополнительных узлов с одной степенью свободы все же вносит некоторые трудности. Однако дополнительные степени свободы можно устранить, если вдоль каждой стороны треугольника допустить только кубический закон изменения нормальной производной. Ясно, что при этом количество степенен свободы и порядок матрицы [С] уменьшаются до восемнадцати и получается элемент (фиг. 10.18,(3) с тремя угловыми точками и восемнадцатью степенями свободы. Такой элемент используется чаще.

Рассмотренные элементы были совершенно независимо построены и описаны в нескольких статьях, опубликованных в 1968 г. Такой любопытный факт одновременного открытия наблюдается во многих областях науки на определенной стадии развития знаний.

Так, элемент с двадцатью одной степенью свободы описан Айронсом [27], Аргирисом [23], Беллом [10], Боссардом [24], Вис-сером [25] (авторы перечислены в алфавитном порядке).

Вариант этого элемента, но с восемнадцатью степенями свободы построен Аргирисом [23], Беллом [10], Купером и др. [26]. Очень похожее, но более сложное построение осуществлено Бат-лином и Фордом [11].

Очевидно, что можно построить еще много элементов такого типа, а некоторые из них уже были предложены в указанных работах. Однако всегда следует помнить, что они могут оказаться непригодными, если материал неоднороден и свойства его изменяются скачкообразно. Кроме того, наличие производных высоких порядков затрудняет формулировку граничных условий для них и производные от энергии уже нельзя интерпретировать как узловые силы . Поэтому инженер все же может

скорее отдать предпочтение физически более наглядной формулировке, несмотря на то что во многих работах продемонстрирована очень хорошая точность таких элементов.

10.16. Заключительные замечания

В настоящей главе содержится подробный обзор функций формы и методов их построения. Включение его в книгу объясняется не только тем, что задача об изгибе пластин имеет важные инженерные приложения, но н тем, что представленные здесь функции формы применимы ко всем задачам, функционал которых -содержит вторые производные. Например, их можно использовать в задачах о вязком течении и других задачах такого типа.

В самом деле, даже задача о двумерном напряженном состоянии, как хорошо известно, может быть сформулирована с помощью функций напряжений, а при этом получаются именно такие функционалы. При таком подходе уравнения равновесия выполняются автоматически, и путем минимизации дополнительной работы можно получить верхнюю границу решения. Такая формулировка впервые была предложена Вёбеке и Зенкевичем [28].

Другие подходы к решению задачи об изгибе пластины здесь не приведены. Некоторые из них хорошо обоснованы [30-36], но имеют более ограниченную область применения.

Основные соотношения этой главы основаны на классической теории тонких пластин. Поэтому деформации сдвига не рассматриваются. Тем не менее бесспорно, что в случае толстых пластин их необходимо принимать во внимание. В работах [21, 30, 31] предприняты попытки приближенно учесть деформации сдвига. В гл. 14 данной книги это будет сделано другим способом.

ЛИТЕРАТУРА

1 Timoshenko S. Р., Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and Shells, 2nd ed., McGraw-Hill, 1959; есть русский перевод: Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С, Пластинки и оболочки, Физматгиз, 1963.

2 Irons В М Draper К. J., Inadequacy of Nodal Connections in a Stiffness Solution lor Plate Bending, JAIAA. 3, 5 (1965); естьрусский перевод: Айронс Дрейпер, Несобтветствие узловых связей при расчете изгиба пластин' методом жесткостей. Ракетная техника и космонавтика, 3, № 5, стр. 206-207 (1965). . , ,

3 Clough R W., Tocher J. L., Finite Element Stiffness inatrices for Analysis of Plates in Bending, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.

4 Bazeley G P., Cheung Y. K., Irons B. M., Zienkiewicz O. C, Triangular Elements in Bending-Conforming and Nonconforming Solutions, Proc.

10. П. 12.

14. 15.

18. 19.

22. 23.

Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Tech., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.

Sander G., Bornes superieures et inferieures dans Ianalyse matricielle des plaques en flexion - torsion, Bull. Soc. Royale des Sc. de Liege, 33, 456- 494 (1964).

De Veubeke B. F., Bending and Stretching of Plates, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Tech., Wright Patterson A F. Base, Ohio, Oct. 1965

Irons B. M., A Conforming Quartic Triangular Element for Plate Bending Int. 1. Num. Meth. Eng., 1, 29-46 (1969).

Bogner F. K., Fox R. L., Schmit L. A., The Generation of Interelement- Compatible Stiffness and Mass Matrices by the Use of Interpolation Formulae, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.

Smith I. M., Duncan W., The Effectiveness of Nodal Continuities in Finite Element Analysis of Thin Rectangular and Skew Plates in Bending Int. 1. Num. Meth. Eng., 2, 253-258 (1970).

Bell K., A Refined Triangular Plate Bending Element, Int. J. Num. Meth. Eng., 1, 101-122 (1969).

Butlin G. A., Ford R., A Compatible Plate Bending Element, Univ. of Leicester Eng. Dept. Rept., 68-15, 1968.

Zienkiewicz 0. C, Cheung Y. K., The Finite Element Method for Analysis ol Elastic Isotropic and Orthotropic Slabs, Proc. Inst Civ Eng. 28 471-488 (1964).

Clough R. W., The Finite Element Method in Structural Mechanics Ch. 7 in; Stress Analysis, Zienkiewicz 0, C, Holister G. S eds., Wiley, 1965,

Dawe D. J Parallelogram Element in the Solution ol Rhombic Cantilever Plate Problems, 1. of Strain Analysis, 3 (1966).

Argyris J. H., Continua and Discontinua, Proc, Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A, F. Base, Ohio Oct. 1965,

Walz J. E., Fulton R. E., Cyrus N, J., Accuracy and Convergence ol Finite Element Approximation, Proc. 2nd Coif, Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968, Melosh R. J., Basis ol Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Methods, lAIAA, 1, 1631-1637 (1963); есть русский перевод: Мелош, Основы получения матриц для прямого метода жесткостей, Ракетная техника и космонавтика, 1, № 7, стр. 169-176 (1963).

Adini А., Clough R. W., Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method and Report to Nat. Sci. Found/USA, G. 7337, 1961. Cheung Y. K., King I. R, Zienkiewicz 0. C, Slab Bridges with Arbitrary Shape and Support Conditions -a General Method of Analysis Based on Finite Elements, Proc. Inst. Civ. Eng., 40, 9-36 (1968). Tocher J. L., Kapur K. K., Comment on Basis of Derivation of Matrices for Direct Stiffness Method, JAIAA, 3, 1215-1216 (1965); есть русский перевод: Точер, Капур, Замечания к статье Основы получения матриц для прямого метода жесткостей , Ракетная техника и космонавтика 3 ,№ 6 стр. 285 (1965). . . - .

Clough R. W., Felippa С. А., А Refined Quadrilateral Element for Analysis of Plate Bending, Proc. 2nd Conl. Matrix Methods in Struct Mech Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968. De Veubeke B. F., A Conforming Finite Element for Plate Bending Int I Solids Struct., 4, 95-108 (1968).

Argyris J. H., Fried I., Scharpf D. W., The TUBA Family of Plate Elements for the Matrix Displacement Method, The Aeronautical J R Ae S 72 701- 709 (1968). . I

24. Bosshard W., Ein neues vollvertragliches endliches Element,fur Platten-biegung, Mt. Assoc. Bridge Struct. Eng. Bulletin, 28, 27-40 (1968).

25. Visser W., The Finite Element Method in Deformation and Heat Conduction Problems, Dr. W. Dissertation, T. H., Delft, 1968.

26 Cowper G. R., Kosko E., Lindberg G. M., Olson M. D., Formulation of a New Triangular Plate Bending Element, 7rans. Canad. Aero-Spase Inst., 1, 86-90 (1968); CM. также N. R. C. Aero Rept. LR514, 1968.

27 Irons B. M., Comments on Complete Polynomial Displacement Fields for Finite Element Method by Dunne P. C, The Aeronautical J., R. Ae. 6., 72, 709 (1968).

28 De Veubeke B. F., Zienkiewicz O. C, Strain Energy Bounds in Finite Element Analysis by Slab Analogy, /. Strain Analysis, 2, 265-271 (1967).

29 Morley L S D., The Triangular Equilibrium Element in the Solution of Plate Bending Problems, Aero Quart., 19, 149-169 (1968).

30 Plan T H FT Derivation ol Element Stiffness Matrices by Assumed Stress Distributions, JAIAA, 2, 1332-1336 (1964); есть русский перевод: Пиан, Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, основанный на выборе закона распределения напряжений, Ракетная техника и космонавтам, 2, № 7, стр. 219-222 (1964).

31 Plan Т Н Н. Tong Р., Basis of Finite Element Methods for Solid Continua, Int. J. Num. Metli. Eng.. 1, 3-28 1969).

32 Alwood R. J., Cornes G. M. M., A Po ygonal Finite Element for Plate Bending Problems Using the Assumed Stress Approach, Int. J. Num. Meth. Eng.,

33 Severn RVTTylor P. R., The Finite Element Method for Flexure of Slabs where Stress Distributions are Assumed, Proc. Inst. Civ. Eng., 34, 153-170

34 /Ierrmann L. R., Finite Element Bending Analysis of Plates, Proc. Am. Soc. Eng., 93, EM 5 (1967). , .

35 De Veubeke B. F., An Equilibrium Model lor Plate Bending, Int. J. Solid Struct., 4, 447-468 (1968).

36. Morley L. S. D., On the Constant Moment Plate Bending Element, Journal Strain Analysis (будет опубликовано).

1 ... 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 ... 27