Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 ... 14

Z и по этим двум точкам проводим линейную экстраполяцию на нулевое число шариков. Полученное эначение и считаем равным моменту Mj, обусловленному силами базирования. Данный метод, предложенный А.В, Бауэром, требует экспериментальной проверки. Действительно, соотношение (3.145) не является очевидным. Так, если в комплекте, содержащем, скажем, семь шариков, оставить всего три (при меньшем числе шариков кольца смогут совершать неограниченные радиальные перемещения одно относительно другого), то это может привести к радикальному изменению режима движения сепаратора, а следовательно, и значения Mi - момента, обусловленного базированием. Правильность формулы (3.145) можно проверить, определив значение Mjot при трех значениях Z:Z, Z - 1,Z - 2. Если полученные три точки лежат на одной прямой, то, по-видимому, формула (3.146) дает правильное значение Mi.

Опишем разработанный В.П. Ковалевым метод нахождения силы и момента, действующего на сепаратор. Перейдем в правую систему координат, в которой контакт неподвижен. Направим ось Оу к центру сепаратора перпендикулярно поверхностям сепаратора и кольца, ось Ох перпендикулярно оси Оу и осям колец, ось Oz параллельно осям. Предположим, что в контакте осуществляется гидродинамический режим смазки, а деформации по- верхностей малы. Пусть Л j - радиус сепаратора, - радиус кольца, fej -ширина контакта по оси Oz. Будем считать, что течение смазочного материала одномерно, т. е. пренебрежем потоком вдоль оси Oz. Пусть толщины пленок на поверхностях на входе в контакт равны hi и . Толщина пленки

А(д:) = ( 1) + 1 (

1 , dp q = - --/г^(х)- +uh,

12д

(3.147)

где ho =h (0) - минимальная толщина.

Зададимся определенным режимом движения сепаратора. Предположим, что сепаратор касается базы и его центр совершает орбитальное движение по круговой траектории с радиусом Д, равным радиальному зазору базирования, при угловой скорости О)* так, что со стороны кольца на него действует сила, радиальная составляющая которой равна msA{cof), где rris - масса сепаратора.

Данный режим движения выбран не случайно. Как следует из эксперимента, он характерен для приборных подшпников.

Для отыскания распределения давления р{х) в области контакта воспользуемся уравнением

где объемный расход смазочного материала в единицу времени q- Uihi + + Uihi, и= ( 1 + 2)/2; Ui - скорость движения поверхности сепаратора; 2 - скорость движения поверхности кольца.

Пусть Xi и Х2 - абсциссы входной и выходной границ контакта, Гра-

иичными условиями задачи являются условия равенства нулю давления и жидкости, т. е,

p(Xi) =Р(Х2) =0,

и кавитационное условие равенства нулю градиента давления на выходной границе

= 0.

dx x = Xj

Перепишем уравнение (3.147):

dp uh - q

JL = 12д- .

dx Л'

(3.148)

Отнесем линейные размеры вдоль оси Ох к характерной длине \/2Я5гЛо,где

Введем обозначения для безразмерных координат входной и выходной границ:

72/г srht Rsrho В безразмерных координатах контактный зазор

h{0 =hoil+e).

Введем безразмерное давлениер = phiI{\2р.\и^/2Щ^). Уравнение (3.148) в новых переменных примет вид

dp 1 + i-fg

(1 + iy

где fg = q/(uho). Учитывая кавитадаонное граничное условие, получаем \ + \1 = fq. Таким образом, абсцисса выходной границы контакта определяется только расходом и минимальной толщиной пленки смазочного материала. Условие равенства нулю давления на границах контакта имеет вид

(3,149) 163



Это уравнение служит для определения абсциссы входной границы контакта, i

Таким образом, если задан режим движения сепаратора (т. е. заданы скорости 1, 2. и), то, зная толщины пленок на каждой из поверхностей при входе в контакт, можно найти расход q, а по нему Ь = VW( o) - 1-Из уравнения же (3.149) находим значение Jj. Однако это уравнение не имеет аналитического рещения, В дальнейшем рассмотрим два предельных случая - обильное смазывание и масляное голодание, при которых удается найти приближенное решение уравнения (3.149). а

Со стороны смазочной пленки на сепаратор действуют:

нормальная сила Р= ( !) + ь^еу jWsgn(x2 -X,); момент относительно центра контакта М= (-l) - й,ег J%xdxsgn(x2 -X,); касательная сила

(3.150)

(3.151)

+ -( - +

) S pxdx]X

X n(X2 -Xi).

(3.152)

Используя введенные выше безразмерные величины, эти три формулы можно записать в виде

ill МА,

V.\u\Rr bs

= (-1) Vp i,b)e,;

= 2(-l) (S b)e,;

H\u{Rsr bs

№.b).+

Rr ~ Rs

(3.153) (3.154)

fmai,h)]ex, (3.155)

где

(3.156)

Заметим, что sgn(b - ?i) = sgn(x2 -x,) = nu.

Ярм обильном смазывании i = Из уравнения (3.149) численно найдено Ь = 0,47513. Следовательно,/ = ql{uha) = 1 + Й = 1.2257. По (1)0рмуле <7 = 1,2257ийо определяем максимальный расход смазочного материала за единицу времени. Значения коэффициентов

/р 4,89; fm 4,6; 2,85 (3-157)

были найдены численным интегрированием (3,156).

При масляном голодании i , ?2 I 1- Пренебрежем величиной % в знаменателе подьштегрального выражения в (3.149), тогда

f 51) = ( il - Й?) = (11 - %1) - %1 (Ь - =

1 3

= -(Si +2b)(Si -%г).

Приравняв зто выражение к нулю, получим %i = -2Ь - Затем находим значения коэффициентов

/; = 3V21Ы ; /р = 54Ь*; fm = Ь . (3.158)

Кроме того, поскольку 121 1, то /(ийо) = 1 + Й' 1.

предположим, что в контакте сепаратор - кольцо имеет место масляное голодание. Найдем скорости поверхностей в этом контакте. Перейдем в такую движущуюся систему координат, в которой контакт неподвижен. Очевидно, эта система вращается с угловой скоростью w* так, что центр сепаратора в ней фиксирован. Абсолютные скорости поверхностей кольца и сепаратора равны Ощг ( - номер кольца, относительно которого осуществляется базирование) и Oitr соответственно, а их скорости в системе, связанной с контактом,

= {р.т - (4) Rr; 1 = 0; = (Пт - w5r/2.

Поскольку центростремительная сила, действующая на сепаратор, должна возникать со стороны смазочной пленки, то

и\и\ ии

шДсОс*)Д = 54-Rsrbsi = 54-Rsrbsi}.

Ао \Я\



Отсюда находим 52-1

(3.159)

Вычислим момент сил со стороны базы относительно

центра кольца

е. +

-Г7?-ez =

--- (Tm + 2ffsgnu) e, = Ь^1 т -

Г72--- л

I? I

X (/w + 2/)rsgn )ez.

(3.160)

/0 Д%Г(Г™Л/Г'?,- V использованы соотношенш!

(3.161)

Таким образом, задавшись количеством смазочного материала на поверхности кольца, можно найти q, положив Ui = О, и.подставив полученное значение расхода в (3.161), определить момент, действующий со стороны базы. Использовав формулы (3.161) и (3.144), можно определить Л/,.

Рассмотренный случай масляного голодания характерен для подшипников с ресурсным смазыванием. Для того чтобы узнать, реализуется ли данный режим смазки в конкретном подшипнике, следует, во-первых, экспериментально определить толщину пленки на базе кольца, во-вторых, вьиис-лить расход q смазочного материала, в-третьих, рассчитать 2 по формуле (3.159). Если полученное значение мало, то в контакте реализуется скудное смазывание, и для вычисления момента можно пользоваться формулой (3.161).

Следует заметить, что гидродинамический характер контактирования (на чем были основаны все приведенные рассуждения) является предположением. Фактический режим смазки в контакте может оказаться значительно более сложным из-за шероховатости поверхностей сепаратора и кольца. Если толщина Aq пленки окажется меньше характерной высоты неровностей, то возможен контакт смешанного типа: на части поверхности будет 166

осуществляться гидродинамическое трение, а иа оставшейся части - граничное или даже трение без смазочного материала.

Второе важное предположение касается режима движетия сепаратора. При движении центра сепаратора по круговой орбите с угловой скоростью, равной скорости собственного вращения, точка контакта сепаратора с кольцом неподвижна относительно сепаратора. Такой тип движения не является единственно возможным. Однако, как показывают эксперименты, проведенные для приборного подшипника 106074 и численные расчеты динамики ротора на шариковых подшипниках, такая форма движения действительно реализуется в условиях скудного смазывания или кулоновского трения.

Отметим, что проведенное исследование кинематики и момента сопротивления подшипника можйо обобщить для учета центробежной силы, действующей на шарик. Основной эффект центробежной силы сводится к изменению нагрузок и значений давления в контактах шарика с кольцами. Если считать, что угловая скорость шарика равна кинематической, а это предположение действительно выполняется с большой точностью, то можно, используя методы, изложенные в подразд, 2.2, определить изменение нагрузки на наружное (внутреннее) кольцо и рассчитать соответствующие значения максимального контактного давления, изменение которого приводит к изменению значений Qm =осрот[а=ар-к{Т - Го)], а следовательно, и aff а^т, im. Влияние же центробежной силы посредством изменения углов контакта менее значительно.

В заключение рассмотрим следующую задачу. Дан подшипник с шариками малой массы (например, приборный). Пренебрежем эффектами, обусловленными дифференциальным проскальзыванием и наличием пленки смазочного материала между шариком и сепаратором, в области контакта которых реализуется режим гидродинамической смазки, т. е. будем считать Fgm = Fkm = = О, /и = 1, 2. Пусть на шарик действует только сила со стороны сепаратора и момент Л/;. Тогда вследствие малой массы и момента инерции уравнения движения центра шарика и его собственного вращения сведутся к уравнениям равновесия сил и моментов. Действительно, если силы и моменты, приложенные к шарику,не уравновешены, то вследствие малости массы и момента инерции ускорение шарика и производная его угловой скорости должны быть очень велики, в пределе бесконечны. Очевидно, что это невозможно. Таким образом, уравнения движения можно записать в виде

л:, a Fi-fA:2a,2K2=Fc;

Кг а^г Уг - ./Г, а Fi = -IMi/p?

(3.162)

[см. уравнения (3.136), (3.137)]. Используя связь (3.135) Vm с величинами Wc, со/, получаем



(3.163)

матических значений. .лоншиями и со/ от кине-

3.6. ДИНАМИКА РОТОРА НА ПОДШИПНИКАХ

Перейдем к исследованию движения ротора на шариковых подшипниках с учетом отклонений формы и размеров, обусловленных изготовлением. Анализ динамики основан на следующих предположениях.

1. Силы трения в контактах шарик - кольцо малы по сравнению с упругими силами, и ими можно пренебречь.

2. Движение комплекта шариков в каждом подшипнике задано, причем угловые скорости орбитального движения шариков в каждом подшипнике одинаковы и близки (или равны) кинематической скорости со (верхний индекс обозначает номер подшипника).

3. Траектория точки контакта на шарике - окружность наибольшего радиуса, причем смены траектории в процессе движения не происходит.

4. Жесткости К^, К [см. формулу (3.13)] таковы, что частоты собственных колебаний шарика в направлениях вдоль и поперек линии контакта достаточно велики и при рассмотрении можно пренебречь собственной динамикой шариков под действием упругих сил со стороны колец. Иными словами, будем предполагать равновесие шарика между кольцами.

Первое предположение вьшолняется для узлов, собранных с oceebnvi натягом. При этом значительные нагрузки в контактах шарик - кольцо всегда превосходят силы трения в том же контакте, являющиеся следствием взаимодействия сепаратора с базой.

Второе предположение для узлов с осевым натягом также не вызывает сомнения, поскольку заметное отличие от кинематической скорости привело бы к проскальзываниям в контактах с дорожками качения и вследствие жесткой зависимости сил трения от проскальзывания [см. формулу (3.163)] - к значительньпл силам, действующим на шарик в окружном направлении. Эти силы нечем было бы уравновесить в нормальных условиях работы узла.

Из эксперимента известно, что в большинстве случаев траектория точки контакта на шарике действительно совпадает с окружностью большого радиуса. Однако вполне возможна ситуация, когда таких траекторий две или более и в процессе движения в случайные моменты времени происходит перескок с одной траектории на другую. Этому явлению в настоящее время нет удовлетворительного объяснения. По-видимому, указанный эффект - следствие неустойчивости вращения шарика на некоторых режимах работы подшипника.

Точность вьшолнения четвертого предположения можно оценить количественно. Пусть ть - масса шарика. Тогда угловые частоты его собственных колебаний в направлениях вдоль и поперек линии контакта равны соответственно \/К 1тъ, у/[]ть. Пусть - угловая скорость ротора. Тогда комплект шариков вращается относительно кольца, закрепленного на роторе (статоре), с угловой скоростью - со* (со* ). Упругие силы, действующие со стороны колец на шарик, обусловлены волнистостью. Если к - номер гармоники в разложении в ряд Фурье отклонений геомет-



рических параметров кольца [см. (3.1)], то угловая частота колебаний силы, обусловленной этой гармоникой, равна к{0, - со ) и Л:со* при отклонениях формы и размеров кольца ротора и кольца статора соответственно. Кроме того, имеется составляющая )шругой силы, обусловленная отклонением от сферической формы шарика. Так, к-я гармоника в разложении в ряд Фурье значения диаметра шарика приводит к силе, действующей с частотой 2ки* , где со* - угловая скорость собственного вращения шарика в системе координат, вращающейся вместе с центром шарика так, что линия контактов в зтой системе неподвижна. Величину со * получим, воспользовавшись выражением (3.14) для со/ и перейдя в указанную систему, угловые скорости колец статора и ротора в которой равны - со* и - со* соответственно. Тогда

со* = ± [R~ (П - со* ) + Я*тУс ].

(3.164)

где т„ {т„ - номер кольца, закрепленного на роторе (статоре).

Если выбрать fc < 5, что почти всегда соответствует гармонике с наибольшей амплитудой, то четвертое предположение вьшолнимо только при

> 5тах(со* , П - со* , 2со* )

для любого п. кроме того, даже гармоника с большим порядковым номером может возбудить колебание шарика в том случае, если обусловленная ею частота является резонансной. Поэтому для вьшолнения четвертого условия необходимо также, чтобы частоты \/К„1ть, y/Ki /ть не были кратны ни одной из частот со* , со* ,2о> .

Вследствие сделанных предположений действующие на ротор силы сводятся к упругим силам, действующим со стороны шариков. Последние же обладают потенциальной энергией, причем шарики между кольцами подшипников находятся в равновесии под действием упругих сил. Поэтому можно пользоваться выражениями для потенциальной энергии узла, полученными в подразд. 2.2.

Указанные вьпые предположения лежат в основе теории вибрации ротора на шарикоподшипниках, разработанной В.Ф. Журавлевьпл. Изложим основные результаты зтой теории, относящиеся к ротору на двух одинаковых шариковых подшипниках (см. рис. 1.13) как наиболее распространенному узлу.

Обозначим А, С,М^ соответственно продольный, поперечный моменты инерции и массу ротора; О., Л^, О, - проекции угловой скорости на оси,

связанные с ротором [см. формулу (3.23)] ; х, у, z - координаты центра масс ротора в неподвижной системе; а, , у - углы поворота ротора; Fj, Fy, F - внешние силы, приложенные к ротору, а Q, Q, - обобщенно

ные силы, выраженные через моменты внешних сил М^.М^.М^, действующих на ротор. Для Qa, Qp, Qy были получены выражения (3.25). Кинетическая энергия ротора

Г= 0,5>т^ + 0,5С(П| + П^) + 0,5М, (х^-н у^ + ?) = = 0,5vl(cisin + r) +Q,5C(acos0 + )+0,5М(х^ +у^ +?). (3.165) Уравнения движения ротора (уравнения Лагранжа второго рода) запишем в виде

dt Ъсц

ЭГ Э<7,-

эЯ э<г,-

= Qi.

(3.166)

где / = 1 ... 6, а (q, Q,-) принимают последовательно значения {х, F), (у, Fy), (z, F), (а, QJ, iP, Qp), {j, Qy).B дальнейшем будем считать, что моменты сил, обусловленных отклонениями формы и размеров дорожек качения [см. (3.50)], нМ настолько малы и (или) продольный момент инерции ротора настолько велик, что угловая скорость ротора постоянна (у = Я). В этом случае достаточно рассмотреть пять первых уравнений системы (3.166). Без учета слагаемых d/df(9r/6q/ ) - 6J/6q; уравнения (3.166) совпадают с уравнениями статики ротора на двух подшипниках. Вычислим указанные слагаемые в четвертом и пятом уравнениях:

d дТ ЫТ d . . ,

- ( - ) - = - [Аsinj3(asin/3 + П) + Cacos/3] dt За За dt

iApn + Ca,

-f ( J!l ) !l = -(CP) - л acos(cfsinj3 + П) -АаП + Ср.

dt Ър dp dt

Здесь мы считали, как и ранее, что о;, р 1, и пренебрегли вследствие малости членами квадратичными и более высокого порядка, обусловленными перекосами. Для описания движения ротора воспользуемся уравнениями статики (3.85), добавив к ним инерционные слагаемые

Мгх +Кгх = -(-1)-.Фх D)+Fx; Z cosa

МгУ^КгУ = -(-\) -1фу +D)Fy; Z cosa

MrZ+KzZ= (-1)

т

2Zsina

-(5 -dD+Fz-,

(3.167) 171



гдеН = АО. - кинетический момент ротора; £)/ ,£> ,£) (и = 1,2) -функции времени.

Действительно, в вьфажения (3.60) - (3.62) входят углы Ущ поворота колец и углы ifo поворота комплектов. Но ущ = Q.t, 7,5? = О, а = w* следовательно, правые части (3.167) являются функциями времени в виде суммы кратных гармоник. Рассмотрим вибрацию ротора при отсутствии внешних возбуждающих сил и моментов. Введем обозначения:

г

fJl [kZ Н

где СО;., сог, со о, - собственные частоты радиальных, осевых и угловых колебании ротора (при П = 0),

Таким образом, вибрация ротора на двух одинаковых опорах описывается системой дифференциальных уравнений: ч т + 1

X + со; X = СОг

(-1)

Z cosa*

У + = фу +D);

Zcosa

m.+l

Z + CJz Z =

(-1)

2Z sina*

(3.168)

OC + OJ + coi ОС = ui ---ф^-D}) ;

Введем плоскость, проходящую через ось подшипника и линию контактов. Вследствие качения шарика по окружности наибольшего рад^са угол iij его поворота вокруг линии, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной линии контактов в системе отсчета, вращающейся относительно оси подшипника с угловой скоростью со*, зависит от времени: ф/ = со*t + i /o. Запишем выражение для вычисления отклонений от сферической формы шарика, используя комплексную форму представления ряда Фурье и формулы (3.4):

р'7/(¥)= S d/c/exp i{2k\jf+aic7j)

Здесь doj = AoTj - р°; dicj = d fc/; акт/ = -°-к-у'> kf =А:7 2 - половина амплитуды к-й. (к > 1) гармоники. Вследствие вращения шарика рт/ является функцией времени:

палт.\1.у^п. j ..--- Г-------

Используя действительную форму разложения отклонений формы и размеров колец, для функций времени, входящих в правые части (3.168), получаем явные выражения:

Р -0a+uip=ui

(-1)

т + 1

-Ф1-о^).

Для определения вида фуш<ций, входящих в правые части зтих уравнений воспользуемся формулами (3.64) - (3.66), в которые подставим следующие вьфажения для углов поворота колец и комплектов:

0т = т, 0,т = т ,

где - угол поворота л-го комплекта в начальный момент времени. 172

б it) = - S S 4jexp I г(2Лсо7* + со*) Г + i [ак + о + 2/ = 1 к = ~ ,

+ ехр iilku* - со*) Г + I [- vo -

(/ - 1) ] I + - 2 Б ( Л'ктсов iikOm -

/ 2 k = sZ~\ т=1,2

- (fc + 1) со*) Г - (fe + 1) о о] - Skm Sin [ (fefim - (fe + 1) coj) Г -

-(fc+1)00]

(3.169)

Dy it) =

1

- S S ciA- <exp

+ i[ak + Poo +

2/ /=1 A:=-2я

?fe / 4

i(2feco7 + tOc) +

(/-1)]

- exp

2(2feco7 - co*) r +

+ i(akf-00- -(/-1)] j

+ - X

X 2 S

k=sZ-\ m= 1.2

-im COS [ikOm - (fe + 1)CO*) t-ik+\)oo] -



-licm Sin [ (Шт -{k+D CJ*) t-(k+l) ¥7oo ]

f=l k= - a> L

(3.170)

2k=sZ m = i,2 N L

- ffk sin fc [ (i2 - CO*) t - o o ]

(3.171)

При получении этих выражений были использованы известные формулы Эйлера:

cosi/)=-; sini/) =

(3.172)

Отсюда можно получить выражение дня правых частей системы уравнений вибрации. Однако уже сейчас видно, что спектр вибрации правых частей является дискретным. Видно также, что спектры правых частей в уравнениях радиальной и угловой вибрации одинаковы. Согласно свойствам систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, спектр вибрации совпадает со спектром правых частей в нерезонансном спучае. Как следует из системы уравнений (3.168), осевые, радиальные и угловые колебания ротора независимы. Это свойство присуще только узлам с одина-KOBbmiH опорами, поскольку именно в этом случае перекрестная жесткость Кх р, связывающая радиальные перемещения с угловыми, равна нулю. Однако в любом узле осевые перемещения не зависят от перемещений по другим направлениям.

Собственные частоты угловых колебаний находим из двух последних уравнений системы (3.168) с нулевьпли правыми частями. Представим решение соответствующей однородной системы в виде

/3(0

и, подставляя в уравнения, получим

СОа - iCJa

-JC0S2q CJa -

Отсюда, приравнивая к нулю определитель (поскольку нас интересуют нетривиальные рещения), получаем уравнение

из которого находим собственные частоты . I 1,2,3,4 = ±0,5[S2 ±V i +4coJ). (3.173)

Используя выражения (3.169) - (3.171) j\flSirPx,Dy,D , можно описать спектр собственной вибрации. Из табл. 3.2 следует, что не все гармоники отклонений формы и размеров колец дают вклад в спектр вибрации. В спектре радиальной и угловой вибрации присутствует угловая частота со*, обусловленная разноразмерностью шариков в комплекте (fc = 0). В этом спектре имеется также угловая частота О., обусловленная первой гармоникой отклонений формы и размеров колец, закрепленных на роторе. Поскольку смещения при посадке колец на ротор также дают первую гармонику отклонений [см. формулы (3.81)] , то они непосредственно влияют на спектр и уровень радиальной и угловой вибрации. В то же время смещения при посадке колец в статор, как следует из табл. 3.2, приводят к колебаниям с нулевой частотой (s = 0), т. е. к постоянным слагаемьп^! в радиальных и угловых перемещениях.

При совпадении собственной частоты coz с одной из частот осевой вибрации (см. табл. 3.2) наступает резонанс в осевых колебаниях. При совпадении же собственной частоты со. или собственных частот угловых колебаний [см, (3.173)] с частотами радиальной и угловой вибрации, приведен-нъшя в табл. 3.2, возникает резонанс в радиальных и угловых колебаниях.

Уравнения движения позволяют рассчитать уровень собственной вибрации ротора. Ограничимся рассмотрением осевых и радиальных колебаний, обозначив Vz и Vf соответственно уровни осевой и радиальной вибрации (средние квадратические значения ускорений). По определению,

K/=lim- ](zydt;

F?=lim -Lf[(x) +(Л']rf

(3.174)

Правую часть третьего уравнения (3,168) представляем в виде суммы гармоник

(-1) cj

----ф] -Dz) = -Lapcosiupt+ocp) + bpsm{o3pt +Рр),

2Zsina р

где Др, bp - амплитуды; р'р - фазы; р - целое число; сОр - частоты, указанные в табл. 3.2.



Таблица 3.2

Угловая частота вибрации

Отклонения формы

радиальной и угловой

2кш* (к -

целое число)

2A:u;,*±cjJ (А:-целоечисло) От сферической (для

шариков)

число

k,s - целое

sZ ш J (s - целое число) От тороидальной (для

колец, закрепленных в статоре)

sZ(a - и>) isZ = k,s- целое (sZ - l)fl- sZu>S=

= sZ(a- u>c) - i (s. - целое число)

число) = s2 (n - ш *) - п

От тороидальной (для колец, закрепленных на роторе)

Уравнение осевых колебаний ротора

Z + uiz= Б арcosicjpt + ар) + bp %\n{oipt + Др) . (3.175)

Р

Частное решение этого уравнения дает известная формула

Z = 2 - -- cos(a)pf + ар) + --sin(wpf + /Зр).

р О)/ - и>0 -

Сюда следовало бы добавить общее решение однородного уравнения (3.175) (с нулевой правой частью). Однако в реальных узлах, например, из-за трения в контактах шарик - кольцо, имеется небольшое демпфирование, приводящее к появлению в левой части уравнения члена hxZ, где - логарифмический декремент колебаний. Вследствие этого общее решение однородного уравнения является затухающей функцией и, следовательно, не влияет на вибрацию. Подставив найденное решение в первую формулу (3.174), получим

1 т

Т о

-----cos (wpr + а„)

(w/ - u,p)

lar,b

pDpip

( # -

z - p

- <x>%(wpt + ttp) sin(a)pf + /Зр) +

+ 2 S

Шр CJ

p, q iz - p ) ( г* - ) P*4

X [apfe,cos(wpf + Up) %\a{Uqt + Pq) + apu,cos(Wpr + ap) X

X COs(cj,r + aq) + bpbq%\n{0ipt + Pp) Sin(cj,r + Pq) ]

2(и;/ - ый-) (ш! - шр)=

При получении этой формулы учитывали, что средние по времени значения cos (copf + а'р), sin (сорГ + /Зр) равны 1/2, а средние значения сомножителей, стоящих в квадратных скобках, равны нулю.

Оценим среднестатистический уровень осевой вибрации, считая, что

случайные величины dkj, a/t /. о, оо, акт, кт, ак (т+2}, Ьк т+2),ч\т + ),Ьк (т + А), {т=1, 2) являются независимыми,

alcTj , 4> о , foo - равномерно распределенные на отрезке [0,2п] случайные величины,

,п п , п п ,п п ,п .

величины dkj , акт, km, ак(т + 2) ,Ьк(т + 2) ак{т + 4),ок(,т+А) -

= 1, 2) имеют нулевые средние значения,

моменты перечисленных случайных величин не зависят от и /. Обозначив <%> среднестатистическое значение %, получим


<К|> =

+ - S

2Z sinа*

<dk>{2kw*) 2 ------ t*

к (ш/ - 4A:u;*) <Акт > + <в'кт>

8 k = sZ т'= 1,2 -к^Пт - <t)] Хк\Пт-с*,)]. (3.176)

Использовав формулы (3.63), получим выражения для <Afm>,<Bkm>-

<Акт > <Врт>

+ sina*

= (cosa* - 1)

<akl4 + m)> <bk(4 + m)>

<akm>

+ cos a*

<bkm>

<ak\2 + m)> <bk\2 + m)>

Аналогично можно получить выражение для среднего уровня радиальной вибрации



Zcosa*

<dkb (2kco* + cot) * <Vm> + <Bkm>

2 2

(3.177)

Как видим, общий уровень вибращ1и зависит от близости собственной частоты к спектру вибращ1и.

Одна из важных практических задач - снижение общего уровня вибрации узла. Как следует из формул (3.176), (3.177), этого можно достигнуть, либо уменьшая погрешность изготовления колец и шариков, либо рациональным выбором конструктивных параметров и усилия осевого натяга. Для узла, имеющего неоптимальную конструкцию, спектр вибрации можег оказаться настолько плотным, что не будет свободного диапазона для помещения в него собственных частот cjz, сог- Поэтому задача конструктора - по возможности разредить спектр собственных колебаний.

Рассмотрим осевую вибрацию. Исследуем возможность разрежения спектра осевых колебаний в соответствии с теорией В.Ф. Журавлева.

Кинематическая угловая скорость сепаратора

(3.178)

Аналогично

П-ш*=<72П=(1- <7i)n,<72 = 2R*R*

R*+R*

(3.179)

Для разрежения спектра осевой вибрации, состоящего из частот вида sZq iSl, sZqiQ., IsqQ., необходимо, чтобы три указанных множества пересекались. Это дистигается, если qiMi, qsMi - рациональные числа. Подставляя формулы

R,* = R* + 0,5р7° cosa*; R=R* - 0,5р? cosa*

(R* - радиус окружности, проходящей через центры шариков) в выражения для <7i ,q2,Q3f получаем требование рациональности чисел

R* + 0,5cosa* /г* + 0,5p?cosa*

R* - 0,5р? cosa*

Fl I

иличисел- cosa* и- + 0,5cosa*, или чиселp?/*. cosa*. Заметим,

R* p

что максимальное число шариков в подшипнике (без сепаратора, когда соседние шарики касаются друг друга)

тах ~-

2-nR*

arcsin(p,V(2/?*)l

Таким образом, для разрежения осевого спектра можно рекомендовать такой выбор параметров, чтобы PtJR*, cosa* были рациональными и, кроме того, значение Zax допускало размещение в комплекте заданного числа шариков Z{Z < Zjnax). Поскольку а* не является исходным конструктивным параметром, а зависит от осевого натяга, то для приблизительной оценки при небольших начальных углах ао контакта достаточно, чтобы число costto бьшо рациональнь !.

Задача разрежения спектра радиальной вибрации более сложная, однако для ее решения необходимо удовлетворить условию разреженности осевого спектра. Предположим, что мы добились совпадения отдельных частот радиальных колебаний. Пусть эти колебания возбуждаются кольцами на роторе и статоре (см. табл. 3.2). Тогда существуют целые числа Г1,Г2, ... и г/, Гг,... и т.д., такие, что

TiZw* =?-iZ(n-a)*) -П;

?-2Zcj* =A-2Z(n-w*)-П.

Вычтя второе равенство из первого, получим

(г, - ) W* = (rl - ri) (П - CJ*) .

Отношение (П - cjDIcjI = 2/1 равно рациональному числу (fl - Г2)Кг{ - rl ). Пусть частоты колебаний, вызванных отклонениями формы и размеров шарика и колец статора, совпадают. Тогда при некоторых целых Л и S (см. табл. 3.2) должно выполняться равенство

2коо* ± со* = sZcj

* с >

откудаследует, чтосо*/со*=(7з/<71 = (sZ+ l)/(2fc).

Приведенные рассуждения не дают однозначного ответа на вопрос, какими должны быть рациональные числа cosa* и Р7/Л*, чтобы конструкция была оптимальной. Однако учет того, что указанные величины рациональны, уже позволяет обеспечивать частичную оптимизацию. Рассмотрим один из способов выбора параметров, позволяющий достичь значительной степени разрежения, во всяком случае для спектра осевой вибрации. Примем для частот, приведенных в табл. 3,2, условия



(3.180)

где / - рациональное число; со - абсолютное значение угловой скорости движения сепаратора относительно т-то кольца.

Очевидно, при соблюдении условий (3.180) три набора частот из табл. 3.2 сводятся к двум, обусловленным отклонениями геометрических * параметров внутреннего и наружного колец. Используя формулы (3.178), (3.179) и условия (3.180), можно записать при т=2:

Zp° = AR* = 4(Л* - 0,5р7°cosa*); R* R* + 0,5р? cosa*

R* Л* - 0,5р,° cosa

откуда в свою очередь получаем 2R* Z 2R*

= - + cosa 2

/ + 1

cosa

(3.181)

При любом / > 1, как легко проверить, выполнено необходимое условие

2itR*

>2(

- cosa*).

Из соотношений (3.181) найдем

cosa = - (/ - 1) 4

(3.182)

Поскольку обычно Z > 4, то / должно удовлетворять неравенству 1 </ < 2.

Пусть / = piq - несократимая дробь. Тогда в диапазоне первых р частот колебаний, возбуждаемых отклонениями геометрических параметров внутреннего кольца, имеется {q - 1)-я частота, обусловленная отклонениями параметров наружного кольца. Следовательно, относительная плотность (на р частот внутреннего кольца) результирующего спектра равна

р + <? - 1 q - I

- - 1 +- , /

При фиксированном q параметр р принимает значения + 1, -, 2q - 1, позтому минимальная плотность спектра, достигаемая при р = 2 -1, равна 1 + ( - \)l{2q - 1). Последняя величина монотонно изменяется в зависимости от и достигает минимального ненулевого значения 4/3 при q = 2. Тогда p = 3,j= 3/2 и необходимо, чтобы cosa* = Z/8.

При этих параметрах достигается наивысшая степень разрежения спект-

Таблица 3.3

р

2R*lp°

max

(p + q -

-DIP

60,00

2,500

1,333

51,32

3,125

1,333

41,41

3,750

И

1,333

28,96

4,375

1,333

70,53

2,333

1,500

65,38

2,917

1,500

60,00

3,500

1,500

54,31

4,083

1,500

48,19

4,667

1,500

41,41

5,250

1,500

33,56

5,833

1,500

23,56

6,417

1,500

48,19

2,667

1,400

33,56

3,333

1,400

pa осевой вибрации. В табл. 3.3 приведены характеристики некоторых подшипников, рассчитанные по данной методике.

При получении уравнений (3.167) были учтены квадратичные члены в разложении потенциальной энергии. Перейдем к рассмотрению спектра вибрации в кубическом приближении. Учет кубических слагаемых приводит к обнаружению некоторых новых эффектов. Кубические слагаемые распадаются на четыре группы:

первая группа - квадратичные по отклонениям геометрических параметров и линейные по координатам;

вторая группа - квадратичные по координатам и линейные по отклонениям геометрических параметров;

третья группа - кубические по координатам;

четвертая группа - кубические по отклонениям геометрических параметров.

Слагаемые четвертой группы не войдут в уравнения движения, поскольку их производные по координатам равны нулю. Учет слагаемых второй группы приводит к тому, что в системе оказывается возможным параметрический резонанс.

Спектр собственной вибрации в кубическом приближении. Потени>1аль-ную энергию ротора на двух одинаковых подшипниках вычисляем по формулам (см. подразд, 2.2): , ,

П = - АГо Б Б 5 я=1,2 /=1

5*+(-l)/ [(;ccosa*+(-l) 3)cos(/ +

+ Cvcosa* - (-l) /a) sin - (-l) zsma*] +




1 ... 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 ... 14