Главная страница сайта
Российские промышленные издания (узловые агрегаты)
1 2 3 [
4 ]
5 6 7 ...
14 Р^Ро\/1-(ШУ-(ФУ,
где а н - соответственно большая и малая полуоси эллипса, то
у(х.У,2)= / (1- у1
So s
(2.52)
(2.53)
где So - наибольший корень уравнения третьей степени -±- + -L- + - = 1;
f - нормальная сила, действующая на область Поскольку
dw/dz - v;
э'и- bw dw -Т- (х, у, °°) = --(х, у, оо) = -(х, у, оо) = о,
по известному значению v производные от w, входящие в формулы (2.51), можно найти интегрированием:
~ -~-dz (а = 0,1,2).
г эх эу-
(2.54)
Таким образом, для вычисления напряжений достаточно найти одну функщ1ю \(х, у, z).
Так как подьштегральная функщм в (2.52) с учетом (2.53) обращается в нуль при S = So, то для производных от V верны следующие формулы:
э V 3Pz
эх 2 (fl+s ) V(6+ Эх
s (e+ s) 7(6+ s)s
av ЗР
2 (6 + s.) N/(a+s,)s.
(2.55)
(6 + s) V( + s)s
э'у 3 J
- /-
s, s V(F+l)(6~r7)
Производные от So определяем дифференщ1рованнем уравнения (2.53):
2х
2у
эх (e+So)r 8s, 2z
by (6 + s.)r
(2.56)
Y=Y(x,y.z) =
(fl+S,) (6+s.) s
Напряжение под центром контакта. На оси Oz координаты хиу равны нулю; при этом решением уравнения (2.53) является So = , а смешанные производные от v в (2.55) обращаются в нуль. Поэтому на оси Oz отсутствуют касательные напряжения, а а^, Оу и являются главными напряжениями. Из формул (2.55) следует, что
эу av
- -Z -
V(fl + z)(6 + z)
a из (2.51) с учетом P = 2тгроаЬ/3 az 1
(2.57)
где = z/b - безразмерная глубина; = b/a- отношение длин полуосей эллипса контакта.
Формула (2.57) получена В.М. Макушиным. Напряжение а^,на поверхности равное -ро, монотонно убывает по абсолютному значению, стремясь
к нулю при2-+оо.
в выражениях для и Оу входят норманьные эллиптические интегралы первого и второго рода
о \/1 - sin* ip
; Е(ф,е)= /Vl-esinVv.
(2.58)
О
где е = у/ I - - эксцентриситет эллипса контакта.
Для любого Sq верно проверяемое дифференцированием тождество
Отсюда следует
Эу 2np,z 1 nA7 , /
- =-[-(arcctg-, е) - V-
bz в а я s (fl + s )
£(arcctg-, е).
6 + s
(2.59)
Интеграи в формуле (2.55) для Э^у/Эх заменой s =actgv3 приводим к
2 ч/ л/Т7
--[£(arcctg-, е) - F(arcctg-, е)],
а'е' а д
э'у
-;-[arcctg-, е) - F(arcctg-, е)].
(2.60)
Интегрирование этого равенства по частям от z до < при Sq = z дает
Z г г
- [£(arcctg- ,е) - Fl(arcctg-, е)] + а а а
/б' + Z
+ 1- V-
а' + Z
В силу тождества
bva}ifdif
1 Е(ф,е}
= -те)]
(2.61)
(2.62)
Q(l-esinV)> е р' pVl-esin,
интеграл в формуле (2.55) для д'у/ду при s = actgvJ сводится к
1 1 \/ 7 \/ 7 -[-£(arcctg-, е) - F(arcctg-, е)] -
6 (a + s )(6 + s )
а с учетом Sq = z
э'у
-(arcctg-, е) -ее в
- /3*F(arcctg- , е)] -
V(fl+ z)(b + z)
(2.63)
Представив Э^у/Эд через левую часть (2.62) и проинтегрировав по частям от Z до °°, получаем
э'н- 2яр,
- [F(arcctg- , е) - j3F[arcctg-, е)] + е' а а
:гттгг
0 / a+z-
-- +-(V--1)
+ V(a* + r*)(b + z*) 6 + г'
По формулам (2.55), (2.60), (2.61) определяем
(2.64)
(1-2)+ {2р-рЫ---7 +
1+ Д'Г'+ Г'
+ - )F(arcctg(r), е) -(1 - j) F(arcctg03r), е)] а по формулам (2.55), (2.60), (2.63), (2.64)
(2.65)
р( 2и - 1) + 2т^р - 1) Е(атсат), е) + [2 - (1+ 2.)0]f+ 1- г.з'
+ (l-)F(arcctg(,e)] +
V(l+ ?)(!+
(2.66)
Выражения для и Оу можно привести к формулам, полученным В.М. Макушиным:
на поверхности (f = 0)
= 1 1,
2v+ &
о у 1+21-
Ро Ро 1+3
для цилиндров (Р = 0) 3-444
1+ д
= 2Kr-Vn);
(2.67)
= 2Г-
1+ 2Г'
Po s/1 + f
для круговой площадки контакта = 1)
1 + f
(2.68)
= - = - [(1 - XI - Г arcctgr)------------
Ро 2(1 + f)
Для получения этих формул нз (2.65), (2.66) необходимо раскрыть неопределенность при е 0. Все напряжения стремятся к нулю при f >.
Напряжения в плоскости Oyz. Наибольший интерес представляет распределение напряжений в плоскости, проходящей через малую ось эллипса контакта перпендикулярно к поверхности. При качении шарика по желобу в направлении Ох каждая частица материала шарика или кольца испытывает цикл переменного нагружения. Согласно Лундбергу и Пальмгрену, на поверхности, т.е. при X = О, для удобства выкладок вводим углы у и р, связанные с декартовыми координатамиz следующими равенствами:
(2.69)
у =\/Ь^ + atg7sinv5; z = atg7cosi. Тогда решением уравнения (2.53) является
So=atg4. (2.70)
Кривые 7 = const представляют собой части эллипсов с центром в точке О и полуосями V fc +atg7 и а tgy (рис. 2.10), кривые const-гиперболы с асимптотамид = zig, проходящие через точкиг = 0,у = Ь sin( = 0,2).
Из формул (2.55) следует, что прих = О равны нулю Э'у/ЭхЭд и 8v/3x8z и, следовательно, Тху = tz = С Согласно (2.51), (2.55), (2.56), (2.70),
Тут cossinsinT
- = -/3-
Ро tgT + 0cosV
(2.71)
Напряжение Tyz = О при у = 0(р = 0), при z = О (у? == ± 7г/2 или 7 = 0), при у' + г' оо (7 7г/2). Наибольшее значение ]ту2 \ определяем с помощью уравнений bTyzlbp = dTyz/by = О, котортле сводятся к системе 66
ср=-73

Рис 2.10
tg7(2tgV + tgV-1) =/3;
tg7(l+tgV)(2tg4+ 1) = ;
откуда tg7 = tgv? - 1 = ? - 1, где t - решение уравнения (? - 1)(2г - 1) = = j3. Значение t как функции j3 с точностью ± 2 % представим, согласно Б. Хэмроку и Д. Даусону, формулой
f = 1+ 0,3044 .
Координаты точки MaKCHM3Tvia \ту2 \ находим по формулам
2о=ГоЬ = №+ 1)ч/2Г^] =flV(?-i)/(r + i);
Уо = ±nofc = ± ьЫф+ i)K2t- mt + 1).
Максимум I Tyz\ есть
To=Poy/2r~T/l2tit+ 1)].
(2.72)
(2.73)
(2.74)
Напряжения а^, Оу, Oz определить несколько сложнее. Формулы (2.59) и (2.60) верны для любых х, у, z. Подстановка в них Sq из (2.70) дает
3v COST /, - = - 27фоГ[-+ tg7 - £(- - У, е)];
9Z tgT 2
(2.75)
[£ (- -7.e)-F(- - у,е)].
Эх ее ~ 2 2
В выражении (2.55) дляЭ'у/Эд появляется отличное от нуля слагаемое,
содержащее dso/dy. Подстановка (2.69) и (2.70) с учетом (2.63) в (2.55) и следующей из (2.69) зависимости z от 7 и j приводит к результату
э'у ЗР
(tgT+ 0) sin7 (tgT + 0) -
- ~ {E{.~ - 7, e) - F( - 7, e) ],
где 17 =/6.
Согласно (2.51), (2.55) и (2.70),
Oz 0cos7(tg4+0
(tg7+/3)-0T,
(2.76)
(2.77)
Видно, что прн 17 = о это выражение совпадает с (2.57). а при \у\> b и Z = 0(vJ = ± 7г/ 2) напряжение 5 = 0. В соответствии с (2.54), интегрирование равенства (2.75) дает
щдЛ- , е) -F( , е)] + 1 - Г-
[arctg-- arctg-]; Vl-(e + /3 n )cos7.
e 3t) /Зг)
(2.78)
Из (2.51), (2.75), (2.78) следует
eY е
)3(1 - 2i)[l + У--(arctg-- arctg-)] +
е pri 3т)
cos 7 ,-.-, п
+ 2К1 -)f-- Vt?7+1+ 2Г№ - и)Е(- - У.е)-
tg7 2
- f)F(--у,е)].
(2.79)
При = О эта формула совпадает с (2.65), а на малой оси Эллипса контакта, т.е. при 7 = О = 0,Ы < 1),
= - -[(1 - 2р)+ (2v- /3)Vr-
.-(arctg--arctg-)],
(2.80)
при 7? = ± 1, Т.е. на концах малой оси,
= -(1-2) (1--arctg-).
Интегрирование выражения (2.76) в соответствии с (2.54) дает
(2.81)
Э'к 2яр„
COS7Sln7
- Е(--7. е) +
V1 -ecos 7 0т, е
+ F(- г е)] +-[arctg- - arctg(- \/sin7+13(1 -t?)cos4)]+
Vsin7 + 0(1 - Ti)cos7
+ j3(--1) .
sin 7 + P cos 7 Из (2.51),(276), (2.82) и (2.75) следует
(2.82)
+ 2v - +
1 - 21-
+ т - 2f)
tg7 Vtg7+ P
Дт) e e
]sin7 +
[arctg--arctg(-Vsm7 + jSl - r?)cos7l +-
N/sin7+ 0(1 - Ti)cos7 , я
+ V-y P i--T 2r[(p-l)F(- -7.e) +
sin 7 + p cos7 2
+ (1 - )PF(- - 7, e)
При = 0, tg7 = z/a эта формула сводится к (2.66); при этом на малой оси эллипса контакта
(2.83)
= --[р(2р - 1) + (1 - 2pei)s/r +
Р'(1 - 2v)n
(arctg--arctg-
(2.84)
на концах малой оси
-=-(1 - 2v) - (-arctg--1).
Ро е' е Р
(2.85) 69
Формулы (2.77), (2.79) и (2.83) можно также записать в переменных V> и 7, выразив г? и f через <риус учетом соотношений (2.69).
Линейный контакт. Эллипс контакта в подшипниках качения, как правило, достаточно вытянут ( = 0,1...0,3), поэтому представляют интерес формулы для напряжений при 3 С 1. Для роликового подшипника j3 = 0. При - О координаты (2.69) неудобны, так как а °°. Используем переменные 17,5 и X = so/b; тогда при j3 = О
Tyz
(2.86)
При необходимости учесть следующий порядок в разложении Ту и Oz по степеням j3 выражения (2.86) следует умножить на 1 - Х/3/2. Тогда они будут верны на расстояниях от центра контакта, много меньших длины большой оси эллипса. По формулам (2.79) и (2.83) с учетом связи 4y = Vsola
- =-2Г(\ Ро
/l+ \
:(V-
/l + \ X
(2.87)
в переменных ip,a = s/J/b - s/Y
У
a co% If
(2.88)
= -cosvJ[(-
+ cos
+ l)Va + 1 - 2a].
Одним из главных напряжений является Ох- Два других определяем по формулам
= - cosVa + 1- aXl ± ). (2.89)
Ро s/ot + cos
Максимальное по всем возможным ортогональным к плоскости Oyz площадкам касательное напряжение
тах (а VaMT-a)cosv>
\Jcosifi
(2.90)
Условия экстремума Tmax(9Tmax/9v5 = Эттах/Эх = 0) приводят к равенствам \р = О, а V + 1 = 1. Корень последнего уравнения а 0,786. Таким образом, максимальное по осям Оу и Oz значение Ттах = 0.3 ро достигается на глубине z = 0,786 b. На оси Oz главные напряжения Oi и совпадают с я Оу, так что площадки, на которых касательное напряжение максимально, делят углы между осями Оу и Oz пополам.
С точки зрения наблюдателя, связанного с точкой или линией контакта, при качении шарика или ролика частицы материала проходят через поле напряжений, испытывая цикл нагружения. При фиксированном значении Z имеем z/cos <р,а = f/cos tfi. Формулы (2.88) при заданном f прини-
мают вид
Tyz ?cos sin¥
f + COSV
Oz . Vf + cos*
-- = - cosV--
Po f + cosV
Z =2г--vr + cosv:
(2.91)
f + cos*
Видно, что в процессе движения частшц>1, т.е. при изменении р, напряжение Ту меняет знак, а и а^, остаются сжимающими. На площадке, наклоненной под углом к плоскости Оху (рис. 2.11), действует касательное напряжение
Тф =-T,zCos2i -0,5(о у - az)sin2i .
С учетом формул (2.91)
cosVsinvcos2 - lcos?v> - ?(ч/{- cosV- ))sin2(<
(2.92)
Для = ± 7г/2 при всех \& напряжение равно нулю. Другие значения ур, при которых обращается в нуль, определяем иэ условия
cos ifimtfi
= tg2\(/.
(2.93)
cosV - f(Vf + cosV - ?)
Корни ? = cosv знаменателя можно найти из уравнения t* -{1 - 20f. Прн f 1 Г = 0,5, (/) =±0,57. Для больших f условие (2.93) имеет вид
Щ2ф = tg2v>.
Таким образом, для любого ф Ф О напряжение обращается в нуль два раза на интервале (- 7г/2, я/2), а для = О - один раз. Достаточно

Рис. 2.11

г 3 и
Рис. 2.12
ем из (2.91); приф = п/8 Р и напряжение -- Ту определя-
V8 = COsVsiny. - cosy + + cose,- f)
(f + cosV)\/2
при ф = Ti/4
Ч* f(VP+HiV- f) - cosV Po f + cosV
при Ф = 37Г/8
cosisin;* cosv - ?(\/? + cos-r f)
Po (f + CO 5*)71
Условие дтф/д^р = О зкстремума т,;, прн фиксированном f имеет вид cos2i [cos(/3(cosi/)+ 4f*cosi/>-3?)] + f sin
-Г3гг.в ,л+ /<?-2-2 . vi.-. - (2.94)
Г(ч/ГГ4Г'- 2Г); п 94) приводим к виду
Отсюда при ф = 0 cosV = Г(\/3 + , , ,
= f(v/3T4f*- 2f)/3. Условие (2.911.5 ...: Р = / cosV =
tg2 =
где
3u - 1
(3 -
(2.95)
График функции (2.95) представлен на рис. 2.12. Значения и, при которых \тф I максимально, определяются как абсциссы точек пересечения графика штриховой линией. Например, для ф = я/8 корни уравнения (2.95): и= 1; - 2 ± ТТПри и = м, = 1. tgV=\/l причем i, я/4,
если f < ; прн ы = з = ~ 2 ±
(3 + 2V3)? + ч/(7 T4vTy(7f +4)-tgV2,3 =--
Если f -> оо, то 12 - 19°, vs - 70°. Для i/ = Зя/8 углы vl, va, меняют знаки по сравнению с случаем ф= Зя/8. В общем случае углы определяем из формулы
tgV = o,5[ - 1 + VPo7T17Tl/f],
причем знак tgi,;? совпадает со знаком и. На рис 2.13, а-д изображены зави-
0,3-.5 В
Рис. 2.13

самости от для различных значений i и f. Кривые 0-7 соответствуют значениям ф от нуля до 77г/8 с шагом 7г/8.
касательное нагружение. Пусть на границе полупространства касательная нагрузка Тх{х, у) направлена вдоль оси Ох и распределена по области Напряжения в упругом полупространстве определяем по формуламМ.В. Ко-ровчинского:
ах = -[2(1+ - 2я Эх
Э' Э'и
- (1 - 2p)z-
aw э'и - 2v-]:
э'у
2я ЭхЭг 1 Эу
2я Эд
[--(1-2)г-
- 2v-
эхэ>-
(2.96)
Txz =
1 Эу
-(--z-
2-п Эг
Z Э'у
Tyz=--
2я ЭхЭд
где V И w даются формулами (2.51) с заменой р на Тх и, кроме того, введен потенциал
и(х, у, z) = Ят-хЙ, vyddn; а
г= /ik~xf + (rj-yf + z\ (2.97)
Если касательная нагрузка распределена согласно теории Герца, т.е. тх(х. У) = T%s/l-(x/af -{ylbf (г° - максимальное значение напряжения в зоне контакта),то
v(x, у, z) = /(1----4 . e+s
--- , - (2.98)
)+ S S V(e+s)(b+s)s
где - касательная сила, действующая на эллиптическую область контакта.
Тх = 2пт°хаЬ/3.
(2.99)
По известной функции \(х, у, z) можно определить производные от w/и и, входящие в формулы (2.96), с учетом следующих соотношений:
=- f
3 3v
2 Ьх°ду
-dz (а = 0,1, 2,3);
(2./00)
а'м Эу Э'у -= 2- + X-
ЭхЬу Ъу Э'и
Э'у
(2.101)
Эу Э'у
Итак, для определения компонент тензора напряжений достаточно найти соответствующие производные от v. Для них, дифференцируя выражение (2.98), получаем следующие формулы:
э'у ЗГу
2 (a + s ) V(6*+s )s * Эх
(2.102)
2 S s V(fl+s)(6 + s)
Интегралы в формулах (2.102) можно выразить через нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода (2.58). Тогда приs = actgifiHb/a получим
/-г-- =-[F(arcctg-, е) -(arcctg-е)];
J (e + s) V(6 + s)s e
/ - .
- F(arcctg
2 1 чЛТ^ , = -~ [-E(arcctg-, e) -
0 (1 + S /fl)(P+ So/fl)
(2.103)
Рис. 2.14
i V(fl + s)(6 + s)
£(arcctg-, e)].
Определим компоненты тензора напряжений в наиболее важных частных случаях. Предварительно введем безразмерные переменные
(2.104)
Напряжения под центром контакта. На оси Oz х = у = О, поэтому Sq -= или в безразмерных переменных
Из (2.102) и (2.103), с учетом (2.105), имеем ЗГх
(2.105)
Э'у
а'0 ЗГх
1 + 0f
r£(arcctgr, е)]; [F(arcctg3r, е) - (arcctg/ЗГ, е)];
(2.106)
остальные производные, входящие в (2.96), равны нулю. Найдем компоненты тензора напряжений (рис. 2.14) :
Ох = Оу= °z = тху = Tyi = 0;
Ч
1+0?
-F(arcctgr, е)].
[(2--)E(arcctgr,e)-е' 0
(2.107)
Предельным переходом при 3 О найдем из (2.107) выражение для компоненты tz тензора напряжений в контакте цилиндров:
х
(2.108)
что совпадает с аналогичным выражением, полученным М.М. Савериным.
Для кругового контакта 0 в ряд по степеням е, получим
1 = !+£. (3arcctgf - --т% -2 1+ f
1. Разложив эллиптические интегралы ) (2.l/)9)
Напряжение в плоскости Oyz. В плоскости Oyz х = О, поэтому уравнение (2.53) для определения Xq упрощается и сводится к квадратнрму. Для простоты вычислений введем координаты ан ip, изменяющиеся Соответственно от О.до оо и от -7г/2 до +7г/2, связанные с декартовыми координатами следующими зависимостями: I
у = fcchasini, z = feshacosj. (2.110)
Координата о; связана с введенной ранее координатой 7 соотношением
tg7 = 3sha, (2.111)
поэтому координатные кривые а и имеют тот же вид (см. рис. 2.10). Координаты а и tp использованы М.М. Савериным при исследовании контакта цилиндров, что позволит нам без лишних сложностей рассматривать предельные переходы к решению задачи о контакте цилиндров. Координата 7 удобна лишь при рассмотрении кругового контакта, а также в качестве аргумента в эллиптических интегралах. Решая уравнение (2.53), получаем
So=fcsha, (2.112)
или, с учетом соотношения (2.111),
So=fltg7. (2.113)
откуда следует, что в эллиптических интегралах (2.103) первый аргумент - угол arcctg л/ (So/a ) = тг/2 -7.
Определим компоненту tz тензора напряжений в плоскости Oyz, учитывая, что 5 = 5 = 5z = Tyz = 0. Из (2.102) и (2.103), с учетом замен (2.110) и (2.113),получим
ЗТхСОЪ cha тг
-[---£ (-7,e)sha];
а'З Vl + 0sha 2
ЗТх
(2.114)
а'е' 2 2
Подставив (2.114) в формулу (2.96) для Txz и учтя выражение (2.99) для Тх, найдем (рис. 2.15,а; = 0,5)
Txz cha
= - cosyv
V 1 + 0 + sh а
3 sha
+ [(2-
1 я
--)£ (- -у,ё)-0 2
-F(-
(2.115)
Рис. 2.15
Предельным переходом прн Р -* О получим иэ (2.115) выражение для Txz в контакте цилиндров (рис. 2.15, б): 13=0:
- = -ехр (-a)cosv?, (2.116)
(15 I
г
что совпадает с выражением, полученным МА1. Савериным,
При j3 1 получаем формулу для т^ Р круговом контакте (рис. 2.15, в):
= -cos¥ [l - 1,5 (--7)tgr+ 0,5 sin*7].
(2.117)
Напряжения в плоскости Oxz. В плоскости Oxz j = 0. Аналогично предьщущему введем координаты е ифс помощью формул
х = achesini , z = ashecosi/.
Тогда наибольший положительный корень уравнения (2.53)
о =ash€ или, после замены tg7 = she,
So=a*tg7.
(2.118)
(2.119)
(2.120) 79
Рис. 2.16
Определим компоненты тензора напряжений. В плоскости Oxz - yz = 0. Определим компоненту Txz- Для этого найдем 9v/3z и bf/dx, используя формулы (2.56), (2.102), (2.103) и учитывая (2.118)-(2 120) :
Э'у ЗТх
3TxCOs4i \/0+ she п
2 2 t----- T,e)she];
che thesini)/
1 (2.121)
,---[Fi--7. е) -
V+ she(she + cosi(() e 2
Подставляя (2.121) в формулу (2.96) для г^г и учитывая (2.99), получаем (рис. 2.16)
1 1 1Т 1 я
thesin ф
1 ч 3+ she
+--+ -
0 sheche V+ sheCshе + cosi )
Для контакта цилиндров (при /3 О, = 0)
(2.122)
что уже было получено ранее [ см. (2.108)]. Для кругового контакта (при
= -cos\t[l +
sinsin п
--1,5 (-- - 7)tg7 +
cos + tg 7
+ 0,5sin7].
(2.123)
Определим компоненту a. Для этого получим d\/dxdz из (2.102) и (2.56) подстановкой в них формул (2.118) и (2.119) :
f)xiz в' Vr+she(she + сое'!/-)
Тодставив (2.124) и (2.99) в формулу (2.96), получим
(Jshesini cos ф
(2.124)
А V(3 + she(she+ cosф )
ОгсюА предельным переходом при /3 -* О получим, что для контакта цилиндров = О, а при (31, для кругового контакта,
62 \ sinisini/zcosi/( Тх Г у^ cosi/-
Определение компонент Ох, Оу и Тху тензора напряжений, имеющих в своем составе, согласно (2.96), производные от w, - задача более сложная.
В плоскости Oyz Ох =Оу = 0. Для определения Тху необходимо знать выражения ддя dw/dxby. Из (2.100). (2.102), (2.56) и (2.104) имеем
ЗхЬу (1+ psh{) (cht- г,)
После замены под знаком интеграла переменной на по формуле
1 А'п' + е'? ch=-V-
1-г' получим в переменных avi
ЭхЭу в'е'(е' + ;3chc<sin(p) е' + pchasinip
- 1+-
echasin Pchacosip
- ( arctg
/Jchasin
- arcctg-
tgs/e + 0 cha
>/e + psha Для остальных производных имеем Эу
э'и
ду ЭхЭу
ethc
д' ,/1 +psh а
iL -[- Д--7,.)Д--7..)
1 2 3 [
4 ]
5 6 7 ...
14