Главная страница сайта
Российские промышленные издания (узловые агрегаты)
1 ...
4 5 6 [
7 ]
8 9 10 ...
48 f, = lOJcM, для швеллера №22- f 2= 28,8 см\ a для прямоугольника £з= 18X2 = 36 см. Координаты центров тяжести каждого элемента в осях уг будут иметь значения: для уголка Zj = = 7-2,02 = 4,98 см, для швеллера 22 = II см; у2 = 7 + 2,46 = 9,46 см, для прямоугольника гз = 22 -Ь 1 = 23 см; уз = 7 + 9 = 16 сж. /. Определение координат центра тяжести фигуры в осях гу
Номер 9;]емента | Площадь | Координаты ц. т, элемента в осях zti | Статические моменты элемента для осей г и ц |
н | г | | |
| | d > | | |
| 10,7 | 4,98 | 4,98 | 53,4 | 53,4 |
| 28,8 | М | 9,46 | 272,4 | 316,8 |
| | | | | |
| | 75,5 площадь всей фигуры | | | 901,8 | il98,2 |
| | | для площади всей фигуры |
901,8
11,94 см.
Координаты ц. т. фигуры
с = -Т = --75Х = Ус---Т
Относим фигуру к центральным осям гоУй, параллельным осям
Находим координаты центров тяжести элементов фигуры г^ ц^о, в осях гйУй-для уголка
го, = 4,98 - 15,87 = -10,89 см,
= 4,98 - 11,94 = -6,96 см; для швеллера
= 11 - 15,87 = -4,87 см. (/02 = 9,46 - 11.94 = -2,48 см; для прямоугольника гоз = 23 - 15,87 = 7,13 см. Уаз = 16 - 11,94 = 4,06 сн
Находим моменты инерцни элементов фигуры для их центральных осей г^Уl
Так как площадь п-угольника
=-= - 2R sin - cos - = - sin я,
2 2 2 2 2
ТО главные радиусы инерции многоугольника
-[/ г + созя
Эллипс инерции представится окружностью этого радиуса.
Пример 17. Для составной фигуры, указанной на рис. 37, построить центральной эллипс инерции
Решение. Фигуру, вычерченную в масштабе (рис. 38), относим к осям координат ZI/, параллельным сторонам контура фигуры.
Каждый элемент фигуры (уголок швеллер 2, прямоугольник 3) относим к центральным осям г/у/, параллельным осям zy. Центр тяжести прямоугольника определяем, а координаты центров тяжести уголка Zo = 2,02 см и швеллера 2 = 2,46 см берем из сортамента прокатной стали.
Рис. 37
Рис 38
Дальнейшие вычисления удобно сводить в таблицы Все нужные величины для прямоугольника легко подсчитываются, а для уголка и швеллера берутся из сортамента. Так, например, для равнобокого уголка с размерами 70 x 70 x 8 мм по сортаменту площадь
По таблицам тригонометрических функций 2а = 43°10, следовательно, а = 21°35
Так как угол а>0, то откладываем его от оси г против часовой стрелки. Проводим главные центральные оси инерции фигуры и
Поскольку /г,г, >0, ось с максимальным моментом инерции - ось v - проходит через И к IV квадранты.
4. Определение значений главных центральных моментов инерции фигуры.
В соответствии с формулой (77)
max min
.2496 + 6172 1 у 2496 6172)2 + 4-17242 =4334 ±2520сж*.
Таким образом,
= 6854 cм^, / i = / = 1814 смК 5. Определение главных радиусов инерции фигуры и построение центрального эллипса инерции.
По формулам (78) главные радиусы инерции получают значения:
.ах = т/ =
f i = /5 = УЩ - 4,90 см. Так как уравнение эллипса инерции имеет вш~12 + ~с2 = 1.
V и
то полуосями эллипса инерции являются радиусы инерции i на оси v и ( j, на оси и. Откладывая найденные значения ( и ( , строим на них эллипс инерции (см. рис. 38).
Задачи 156-158. Определить моменты инерции фигур относительно осей, указанных в условиях.
Ы
Для уголка (рис. 39) из сортамента: /г. = 1у, = 48,2 смК
Пользуясь формулами для повернутых осей
-isin2(-45°)=!
(- 1) = - 28,2 см*.
Рис. 39
Оси 11 для уголка - главные оси инерции, так как ось Ui - ось симметрии, поэтому = 0. Значения / , = 76,4 см и /о, = 20 см приводятся в сортаменте-Для швеллера из сортамента /г,= = 187 см\ = 2330 cм^; hy, = О, так как для швеллера оси Zg, у г- главные оси инерции
Для прямоугольника подсчитываем:
4=? = 972 cж^/,=ii=12c. /, =0.
2. Определение моментов инерции фигуры относительно осей г^у^
10,7
3,96 2,48
48,2
- 2330 12
187 06 972
-28,2 О О
1269 683 1830
518, 177,1
593,3
347,8 1042
566,5 364.1
1565,3
2496
1317,2 3013 1842 6172
для площади всей фигуры
782,8 347,8 593,3 1724
3. Определение положения главных центральных осей инерции фигуры UV.
По формуле (76)
;2а =
/v -Iz
2-1724 6172 - 2496
= 0.938.
Между моментом М пары сил в кГ-см, числом ее оборотов н минуту п и мощностью N существуют следующие зависимости:
(81, а)
М = 71620 ,
97360 -
П
(81,6)
в формуле (81, а) мощность выражена а в формуле (81,6) - в киловаттах.
В Международной системе единиц (СИ) связь между моментом М в ньютон-метрах (н-м). угловой скоростью вращения чу1/сек и мощностью М в ваттах выражается формулой
в лошадиных силах.
W mi-.2m,
1 r:funm
(81, в)
Поскольку момент вращения пропорционален мощности, то для равномерно вращающихся валов, передающих мощности рабочим агрегатам, можно в.место эпюры крутящих моментов строить эпюру распределения мощности по длине вала.
Пример ,18. Дано М (рис 40)
Построить эпюру М^.
Решение Проводя мысленные сечения внутри каждого участка стержня, правила знаков, имеем.
по формуле (80), с учетом принятого
= т.а ~
м
- пг,а ~М = -=--М = -
m,a-M+-!xdx ~М + Jdx =
2
9 кл -
Задачи 159-163. Определить главные центральные моменты инерции.
VII. КРУЧЕНИЕ
§ 1. Крутящий момент
Крутящий момент определяется методом сечений Величина крутящего момента в каком-нибудь поперечном сечении стержня равна алгебраической сумме моментов всех внешних пар снл (сосредоточенных М и распределенных по длине с интенсинностыо /и), действующих относительно геометрической оси стержня по одну сторону от рассматриваемого сечения
Общая формула, по которой можно определить неличину крутящего момента в произвольном поперечном сечении стержня, имеет следующий вид:
= ел! -Ь i j mdx.
(80)
Интегриронание производится по длине каждого участка, на который действует распределенный момент, а суммирование - по нсем участкам, расположенным по одну сторону от рассматриваемого сечения
Крутящий момент, рассматриваемый со стороны внешней нормали к сечени1р, условно будем считать положительным, если он направлен против часовой стрелки.
ответствующих справочниках и в курсах сопротивления материалов.
Угол закручивания <f на участке длиною /, где крутящий момент сохраняет постоянное значение, определяется по формуле закона Гука
9=. (85)
где /g- момент инерции поперечного сечения стержня при кручении, который для круглого сечения равен /р, а для других форм сечения различен и приводится в справочниках и в курсах сопротивления материалов.
Если стержень имеет несколько участков, на длине которых изменяется по тому или иному закону, то полный угол закручивания (угол взаимного поворота концевых сечений стержня) определяется из выражения
<Р = е|. (86,
Интегрирование производится по длине каждого участка, а суммирование по всем участкам стержня.
Для валов углы закручивания удобно отсчитывать в обе стороны от сечения, где расположен ведущий шкив вала.
Общая формула для определения количества потенциальной энергии упругой деформации, накопленной в стержне при кручении, имеет вид
(87)
2G/
Здесь интегрирование и суммирование производятся так же, как и при определении угла закручивания.
Пример 19. Дано: М, а, d, С (рис. 41).
Построить эпюры AJg и <р; определить -Стани, и U.
Решение. Крутящий момент на участке I Мк , = -М.
Крутящий момент в произвольном сечении участка
Л1к,= -М + 2М-т(2а-х^) = М-?(2а-х,) =
=0 :,=2а
Эпюра изображена иа рис. 40.
Задачи 164-167. Построить эпюры крутящего момента.
т т
CCCCiCCCCCC
§ 2. Касательные напряжения, угол закручивания и потенциальная энергия упругой деформации
Для цилиндрического стержня круглого поперечного сечения диаметром d = 2г касательные напряжения т в произвольной точке поперечного сечения, находящейся на расстоянии р от центра, определяются формулой
(82)
М-Р
о
;О,Id* -полярный момент инерции круг-
где /р=-2- = 32 лого сечения.
Максимальные касательные напряжения в точках, наиболее удаленных от центра, имеют значение
(83)
где Wp=-= = =s0,2d - полярный момент сопротивления круглого сечения.
Для стержней некруглого поперечного сечения максимальные касательные напряжения определяются по формуле
(84)
где - момент сопротивления сечения при кручении, значение которого для различных форм сечеиия приводится в со-
Находим экстремум угла tp;/
М /9а 9а \
- 22,92
9 Ма 4 G/
Ма Gd*
9 Ма 4 Cnd*
Длн произвольного сечения участка /
Так как
Ша Ма
gi gi-
O.Ic = 0,1404 О.ОЗбЫ*. и
2Ь,49
77 - ода - Ф . = -(20,37 + 28.49)
=-48.86
Количество потенциальной энергии упругой деформации, заключенной в закручиваемом стержне, находится по формуле (87)
14.25 + 5,1 1--24 + 18)
dx =
М-а
Задачи 168-173. Построить эпюры крутящего момента М^, угла закручивания <р и определить наибольшие касательные напряжения Ттах и потенциальную энергию деформации U, накопленную в объеме стержня, Задачу 170 решить в системе СИ.
Ж
Для квадратного сечения со стороной с й/ я= 0,208 с^.
Так как с = -, то W 0,208 ~ 0,0736 а^. 1/2 2/2
Поэтому
шак^ - o,0736d
13.6 -=-; т,
З/М ЗУИ ,с ,с Q л* ИТ- = z:;sl6 15.3
2М
Рис.41
Левое заделанное сечение не поворачивается, следовательно целесообразно угол закручивания отсчитывать от левого конца стержня
Для произаольного сечения участка
1(-3) *,=#,(#-3):. ,.0,.
хг=2й р р
32 -20,37
1 ...
4 5 6 [
7 ]
8 9 10 ...
48
