Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 ... 48

в задачах 106 и 107 определить о при условии, что в результате понижения температуры системы зазор Д перекрывается.

Е:а; ut=-WC

6,= ?,6=?,q=?

DlZiOtiA , at

Е, i Ег :а, .а. м^-тх

II. НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ И ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ

§ 1. Линейное, плоское и объемное напряженные состояния

При объемном напряженном состоянии по граням элемента, выделенного около рассматриваемой точки тела, действуют три, отличных от нуля, главных напряжения о, > ог>оз (рис. 12, а). Площадки, на которые действуют ot, о. и 03 (на них нет касательных напряжений), называются главными площадками напряжений. Оси \h II, III), перпендикулярные этим площадкам, называются главными осями напряжений.

p ut=m°

a.,=io

Задачи 102-107. Опреде.чить величины, указанные в условиях для тонкостенных цилиндрических колец н труб.

Обозначения: р - давление по площади, q - интенсивность распределенной нагрузки (кГ/см) между оправкой и кольцом нли между кольцами.

Принять: для стали (ст) Е = 2.10 кГ/см; а = 125-10-; для медн (м) Е= 1-10 кГ/см; а = 165-10-; для алюмнння (алюм) Е = 0,7-10 кГ/см.

получается наложением трех диаграмм, изображенных на рис. 14, е. Экстремальные касательные напряжения равны:

т, = ±

% = ± -2~

(27)

Рис 14

Они действуют в плоскостях, расположенных под углами в 45° к направлениям главных напряжений: т,- в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных оси / (рис. 15, а); - в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных оси (рис 15, б), тз - в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных оси / (рис. 15, в)

Октаэдрические нормальные о^, касательные т„ и результирующие р„ напряжения, которые действуют на площадку, равнонак-лоненную к трем главным осям напряжений (рис 16), определяются по формулам

Нормальные о, касательные т и результирующие р напряжения в наклонных плоскостях сечений определяются по следующим формулам:

в плоскостях, параллельных оси / (рис. 12, в).

311, isfM

Рис. 12

о = о, cos= о 4- г sin а, г=°-!:р Sin 2 а,

Р= ]/ 0 + = V of cos2a+ oi sini a,

в плоскостях, параллельных оси II (рис 13, с), О) jJ

(24)

(25)

/ш

о = о, cos и + Оа sin о,

sin 2 а,

	-6,--

р= ]/ о? cosa + 03 sin а,

в плоскостях, параллельных оси / (рис. 14, с),

(26)

о = 02 cos р 4- 03 sin р.

Рис. 13

Графически эти напряжения устанавливаются по круговым диаграммам в соответствии с построениями, указанными иа рис. 12, в, 13, 6, 14, б. Ойций вид круговой диаграммы напряжений

Удельная потенциальная энергия изменения формы

Ф = f - + ( - + ( в - (32)

Удельная потенциальная энергия изменения объема

Коб = l/* (i + 2 + з) - (33)

Все формулы, относящиеся к объемному напряженному состоянию, могут быть применены и к плоскому напряженному состоянию, если приравнять нулю одно главное на- .

пряжение, и к линейному напряжен- ШкГ/см

ному состоянию, если приравнять нулю /

два главных напряжения ттЛ 1 ШЫ/си*

Пример 10. Дано напряженное со- Г* л й.л/ ..г стояние, указанное на рис. 17, £=2.10 кПсм, [х=0,3.

Определить аналитически и графически 2,з; о' и т' в плоскости, параллельной оси /, при р = 30°; о и т в плос- Рис 17 кости, параллельной оси , при а =

=60°; о' и т' в плоскости, параллельной оси /, при а = 30°; Д V

Ро. о! h.i.z 17 ф' о*-

Решение Так как главные напряжения oi -- 200 кГ/см%, Ог = -400 кГ/слА и оз = -800 кГ/см\ то по формулам (27) экстремальные касательные напряжения

-400 f 800 , 200 800

tj = ± -~-= ± 200 кГ 1см\ Tg = ± -1-=

= ± 500 /сГ/сж

По формулам (26) в плоскости, параллельной оси /, при р=30° о' = 400 cos 30° - 800 sin* 30° = - 500 кПсм t-= - + 0° зш60°173,с/-/сж. По формулам (25) в плоскости, параллельной оси II, при а =60° о = 200 cos 60° -800 sin 60° = - 550 л;Г/cж^ t = ° + °° sm 120° 433 кГ1см\

Главные линейные деформации ej, eg (относительные удлинения, происходящие в направлениях действия главных напряжений) имеют значения-

°з = l=s-V- ( i + °2) 1-

---L

(29)

Рис IS

Относительное изменение объема

-у- ==Н + Ч +

(о, + 02 + оз).

(30)

Величина 3 * называется коэффициентом сжимаемости

материала, а обратная ей величина щ^щГ) =° называется модулем объемной упругости материала.

Удельная потенциальная энергия упругой деформации

и = 4- (°1 1 + °г + °s s) = [°i + °2+ °i -2[* (oi + + о °s + °i) 1- (31)

По формуле (30) определяем относительное изменение объема

10- (2,8-1,1-3.7) = -2-10-

Удельную потенциапьную энергию упругой деформации энергию изменения объема находим по формулам (31) и (33)

100.10- (1+±+ = 19.8.10-

2 2 < 2 ) ---- см?

об = 4tW- 10М2 - 4 - 8)= 3,3.10- кГ-см/см Удельная потенциальная энергия изменения формы

иф = и~и„(, = (19,8 - 3,3). 10-= 16,5-10- кГ-cMicAi. Задачи 108-122 Определить аналитически и при помощи круговых диаграмм

1 Экстремальные касательные напряжения х -сз 2. Нормальные о, и касательные х„ напряжения:

а) в плоскости, параллельной оси /, нормаль к которой (плоскости) составляет угол р = 30° с осью ,

б) в плоскости, параллельной оси , нормаль к которой составляет угол о = 60° с осью /,

в) в плоскости параллельной оси /, нормаль к которой составляет угол а = 30° с осью 1

3 Октаэдрические результирующие р„, нормальные о„ и касатель иые То напряжения

М

т

токг/см

ПШГ/смг

т

~ ПООкГ/см

\5в0кГ/ен*

т

т

I твкг/см*

еоокг/см*

вООлГ/см

ж JI7

(бООкГ/сн вРОкГ/ск

~ ШкГ/снг

ЪткГ/еп

ПОВОнГ/см

По формулам (24) в плоскости, параллельной оси /, при а=30° о' = 200 cos 30°-400 sra230° = 50 кГ/см

rf = 2±i бо° = 2бо кпсм

Графическое определение всех напряжений указано на круговой диаграмме (рис Ш)

Рис 18

По формулам (28) определяем октаэдрические напряжения:

р„ = 100 у~ (4 + 16 + 64) 529 кГ/см\ Оо= 4 (200 - 400 - 800) -333 кГ/см\ т„ = V 9 + 4 + 100 354 кПсмК По формулам (29) находим главные линейные деформации!

2 10

100 2 106

(2+0,3.1,2) = 2,8.10- ,

(-4 + 0,3-6)= -1,1.10- , g:3p- (- 8 + 0,3.2) = - 3,7.10- .

по гипотезе удельной потенциальной энергии формоизменения

ПО гипотезе предельных напряженных состояний где

(38)

(39)

Пример П. Для объемного напряженного состояния (рис 19) о,-= 200 кГ/см, 02= =-400 кГ/см\ о 8= -800к/7ш2 (в СИ: о, 19,6 М /ж2. Ог -39,2 Л^ /Л1г, оз = ~ -78,5 Мн/м^) и 11 = 0,3

Определить эквивалентные напряжения по всем теориям прочности.

При определении эквивалентного напряжения по гипотезе предельных напряженных состояний принять V = 0,25.

Решение сэ, = 200 кГ/см\ оэ = 200 + 0,3 (400 + 800) = 560 кГ/см\ оэ, = 200 -Ь 800 = 1000 кГ/см

16, Рис. 19

с, =100

i- [(2 + 4f 4 (- 4 + 8) 4 (- 8 - 2)]

872кГ/cж^ о., = 200 + 0,25 . 800 = 400 кПсм

(%= 19,6 Мн/м\ оэ, = 19,6 + 0.3(39,2 + 78,5) 54,9 Мн/м\ = 19,6 + 78,5 = 98,1 мн1м\

/- j(i.96 + 3.92) -f (- 3,92 Ч- 7,85) + -85,4 Мн/м',

+ (-7,85 - 1.96) 1 0, = 19,6 0.25 . 78,5 = 39,2 Мн/м\

fl 50Мн/м'

Г *

/Г 70

т

Задачи 108-122 Определить главные линейные деформации 1 2, з; относительное изменение объема , удельную потенциальную энергию упругой деформации и и ее части, идущие на изменение формы Иф и объема Uq.

Рассмотреть напряженные состояния, указанные в задачах 108-122

Принять £ = 2-10 кГ/сжг, (л = 0,3. В задачах 120, 121, 122 принять £ = 2-10 Мн/м?-.

§ 2. Гипотезы прочности и эквивалентные напряжения

В гипотезах прочности предлагаются критерии, определяющие прочность элемента материала, находящегося в сложном напряженном состоянии Соответственно этим критериям установлены эквивалентные напряжения (Og), т е. напряжения одноосного растяжения элемента материала, который равнопрочен тому же элементу при сложном напряженном состоянии

Вне зависимости от принятой гипотезы условие технической прочности элемента материала при любом напряженном состоянии имеет вид

(34)

Для объемного напряженного состояния элемента эквивалентные напряжения имеют следующие значения: по гипотезе наибольших нормальных напряжений

= о, при а, > О*, по гипотезе наибольших линейных деформаций

по гипотезе наибольших касательных напряжений

(35)

(36)

Иногда на практике в тех случаях, когда a3l>0j, расчет на прочность по 1-й теории производят по формулам

о, < lopl; I з I <i Ос1.

1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 ... 48