Главная страница сайта
Российские промышленные издания (узловые агрегаты)
1 [
2 ]
3 4 5 ...
48 § 5. Прочность и жесткость
Подбор необходимых размеров площади F поперечного сечения растянутого или сжатого стержня постоянного поперечного сечения производится по расчетной формуле
где Л'тах - наибольшее по модулю продольное усилие в рассчитываемом стержне, а [о]-допускаемое напряжение материала стержня на растяжение-сжатие или иа растяжение [ор], иа сжатие [oj.
Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (для пластичных материалов),
[°р] = [°с] = [°] = . (12)
где - предел текучести материала при растяжении (сжатии), - коэффициент запаса прочности по пределу текучести. Если дополнительно ставится условие, чтобы упругое перемещение 8 какой-нибудь точки системы не превосходило заданной допускаемой величины [8 ], то производится проверка на жесткость согласно неравенству
S<[S]. (13)
Пример 5. Дано: Р= \Т;а= 1 ж; а= 30; [Ор ), = 1000 кПсж,
е, = 2-10 кГ/см; [ое]н=100 кГ/сж;
Е2 = 0Л-Ш кГ/см;
допускаемые горизонтальная {Ь^} и вертикальная [Ъу] проекции перемещения точки приложения силы Р: [8]= [оу]= 1,3 мм (рнс. 5).
Определить F, и f j.
Решение. Из условий статнкн (рис. 5, а) ЕХ= О и EF = 0: Л?, = Л/г = Л/; N = Р=\ Т. По формуле (11)
По закону Гука
Д/ ° 10 -10 п ... л .
i - 1Г?Ч = 0.05 см; AZ, = -g p- =
o.i-ioe-io
Из геометрического построения, полученного методом засечек (рис. 5,6), следует, что Д/, равно сумме проекций 8 и 6, на направ-
при такой площади напряжение в стержне с„ = = 80 кПcж^
Га
а горизонтальное и вертикальное перемещение точки приложения силы Р
8 == 1,3 мм; = .0,08 - 0,05 р pjyg р
Пример 6. Круглое кольцо внутренним радиусом г = 100 мм, наружным радиусом R = 101 мм и длиной / подвергается действию внутреннего равномерного радиального давления р = 20 бар (рис. 6, а).
Определить увеличение радиуса кольца Дг и коэффициент запаса прочности п„ с которым работает кольцо, если материал его стенки имеет модуль продольной упругости £ = 2 10 Мн/м^ и предел текучести = 300 Мн/м\
Решение. Для определения продольных растягивающих усилий Л', развивающихся в стенке кольца, рассекаем его диаметральным сечением (рис. 6, б). Составляем условие равновесия полукольца как сумму проекций сил и усилий, которые для полукольца будут внешними силами, на ось у; тогда
TV = J plr sin ad а = prl.
Нормальное напряжение в стенке кольца
prl 20-105.10-10-2 , , , пс\с\пл i 2
° = -у= {R-r)i = -ojTTF- = 10 н/м^= 200Мн/м\
Коэффициент запаса прочности (по отношению к пределу текучести материала)
От 300 ,
Абсолютное увеличение внутреннего радиуса кольца Дг найдем по закону Гука. Так как
л, Р^ 20-105.1№^.10- , ,
=£7 = 2.10 .р,1.10-2 =0,01-10- ж = 0,01 см.
Задачи 41-48. Подобрать размеры площадей f поперечных сечений упругих элементов систем.
ление стержня /, а Д^г равно сумме проекций 8 и By на направление стержня 11,1 е
Д;, = 8 sina -Scosa; М^ = \ sin а + 8 cos а.
Следовательно,
2 cos а
Рис. 5
Рис. 6
Так как 8у>[8у]. то следует увеличить площади сечений стержней.
Сохраняя площадь стержня У = 1 см\ найдем необходимую площадь стержня - F. По условию жесткости
0,05 + Д/, <0,13 см.
12.5 смК
Задачи 49-53. Определить допускаемую силу Р или величины, указанные в условиях.
Г=2см.
-2а--4-
Число доотоВ п=8 [с] =!00кГ/ск: h = ?
§ 6. Учет собственного мса
Для призматического стержня прн действии собственного веса и сосредоточенной силы Р на свободном конце: продольное усилие в поперечном сечении на расстоянии х ас свободного конца
N, = P + yFx, нормальное напряжение в этом же сеченни
необходимая площадь поперечного сечения
Р
абсолютное удлинение
W-T
(14) (15)
(16) (17)
в задачах с буквенными условиями считать допускаемое напряжение [о] одинаковым на растяжение и сжатие для всех упругих элементов системы. Если в условии задачи модуль упругости Е не вздан, то считать его известным и одинаковым для всех стержней. В задачах 45-46 принять для стали £ = 2 -10 кГ/смК
абсолютное удлинение по формуле (17)
0 (16.10+)==3.168ш.
2-10 10.204
Для ступенчатого бруса (рис. 7, б): наибольшая площадь по формуле (20)
я№ --.
-7-ш-з.4-10-П 10,203 cл^
(--4.Т(ГТ(?-)
Q = [oi F,-P= 16-10.10,203-16-10== 324,8 кГ, абсолютное удлинение по формуле (21)
W /i LL \ - le-lOllO /, 8-10-°.4-10N c- -2-4 и] ~ 210 1 2-4.16-102J~
3,192 cAt.
Для бруса равного сопротивления (рис. 7, в): наибольшая площадь по формуле (18)
1 I 6.10-.4.10
Р Г 1 16-10 ЮЮ ,п - mono 2
= R = ТбТо5 = Юе 10,202 с/Л
вес
Qp = [°] Fp-P== 16-10. 10,202 - 16.10 323,3 кГ. абсолютное удлинение по формуле (19)
д/ = HL б-0-410 3 2 с
Из полученных результатов видно, что для стального стержня длиной в 40 Л4 различие между призматическим, ступенчатым брусом и брусом равного сопротивления весьма незначительно.
Как видно из формулы (16), напряжение от собственного веса в призматическом стержне достигает 5% от [о] при длине стержня > OiMll стержень стальной, то, считая [о] = 1600 кР/см
и 1 = 8 Г/см
, 0,05-16-10 ,
/ > g.jQ.s-- = 10* см = 100 м.
где 7 - вес единицы объема материала стержня, / - длина стержня и Q = -Fl - вес стержня.
Для бруса равного сопротивления, т. е, для стержня, у которого в каждом поперечном сечении нормальные напряжения одинаковы, подбор площади поперечного сечения производится по формуле
Р .м
(18)
где е - основание натурального логарифма.
Абсолютное удлинение бруса равного сопротивления определяется выражением
(19)
Для ступенчатого бруса площадь произвольной /-той ступени
F Р t°l-
([ 1 -т(м-7У (W-т'з) -m-ih)
а абсолютное удлинение
2 и
(20)
(21)
где /i, /г. /э- - длины соответствующих ступеней бруса.
Пример 7. Дано Р = 16 Г; В) 7 = 8 Г/м^; [О] = 1600 кГ/см;
е= 2-10 1= 40 м (рис. 7).
Определить: площадь вес Qn и абсолютное удлинение Ы„ призматического стержня; наибольшую площадь F,. ; вес к абсолютное удлинение А4 ступенчатого бруса с 4 ступенями одинаковой длины; наибольшую пло-
Рис. 7
16-10
16-102 -8-10-S.4-103
вес Qp и абсолютное удлинение Д/р бруса равного сопротивления.
Решение. Для призматического стержня (рис. 7, а): площадь по формуле (16)
10,204 см\
вес
Q = lF / = 8-10- . 10.204-4 -10 326,53 кГ,
td - изменение температуры.
Определение монтажных напряжений производится также из условий статики и условий совместности перемещений. В этом случае при составлении условий совместности перемещений учитывается наличие заданной неточности в длинах элементов системы. Так как фактические длины элементов, полученные при изготовлении, весьма мало отличаются от предусмотренных в проекте, то при определении абсолютных удлинений элементов по закону Гука бфутся их проектные длины, а не фактические.
При определении максимальной силы, безопасной из расчета по допускаемому напряжению, полагают в наиболее нагруженном стержне напряжение равным допускаемому значению. По найденному отсюда усилию устанавливают максимальную безопасную силу.
Расчет статически неопределимых систем по несущей способности производится при помощи только условий статики. В этих условиях продольные усилия принимаются равными произведениям допускаемых напряжений на площади поперечных сечений во всех тех элементах, в которых достижение напряжениями значения предела текучести материала приводит систему в геометрически изменяемое состояние. Такая методика расчета основывается на замене действительной диаграммы растяжения материала идеализированной диаграммой Прандтля, в которой площадка текучести принимается неограниченной.
Пример 8. Даио:
а) е, = = £з = е = 2.10 кГ/см, [о] = 1600 кГ/см (в СИ £ = 1,96-105 Мн/м^\ (о] = 157 Мн/м^; о = 0,4 ж; 6 = 1,2 м; с = 0,4 м; Pi = 45 ; = 60°; Рз = 30°; F, = 12 см; = 14 см; Рз = 16 см (рис. 8);
б) ai = аг = аз = я = 12,5-10- ;
в) Ag = 1,2 мм - величина, на которую стержни изготовлены короче, чем следует.
о) /V,
Задачи 54-57. Определить величины, указанные в условиях задач.
r.!f
[6] -- еокг/с^
С--2£-Ю'кГ/см сопротивлении Г--Si f = г
§ 7. Статически неопределимые системы
Статически неопределимыми системами называются системы, для которых, пользуясь только условиями статики, нельзя определить усилия во всех элементах. Для расчета статически неопределимых систем используются условия статики и условия совместности перемещений, причем решение идет в следующем порядке. Для рассматриваемой системы вначале записываются уравнения статики и устанавливается степень статической неопределимости системы; затем составляются условия совместности перемещений, т. е. геометрические зависимости между удлинениями отдельных элементов системы.
Удлинения элементов системы выражаются через усилия по закону Гука и подставляются в условия совместности перемещений.
Решая составленные уравнения статики и уравнения совместности перемещений, находят продольные усилия во всех элементах системы.
Для определения температурных напряжений указанная схема расчета сохраняется. В этом случае условия статики составляются только д.)1я усилий, а величины изменений длин нагретых или охлажденных элементов определяются алгебраическим суммированием приращений длин от усилий и от изменения температуры. Абсолютное удлинение от изменения температуры подсчитывается по формуле
Ы = 1Ш, (22)
где / - длина стержня,
а - средний коэффициент линейного расширения материала стержня,
1 [
2 ]
3 4 5 ...
48
