Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 ... 48

37в

57Э

\а

щ	Р		<3

Задачи 380-385. Определить необходимые размеры балок или допускаемые нагрузки из расчета по допускаемому напряжению и по несущей способности.

Обозначения: Ъ, d, h, Р^, шах - необходимые размеры поперечных сечений балок и допускаемые нагрузки из расчета по допускаемому напряжению; Ь', d, h, Pmaxi 9niax - то же, из расчета по несущей способности.

I рчтг

[Р-ВШпГ

0,5 к

шшшшв

вт=2200иГ/ш^ Иг=.5

Р
	1м

б'тоиг/см

38Ц

2м

2м

Ш'ЮОМн/м'

§6. Перемещения при изгибе

Перемещения сеченни балок характеризуются: 1) линейными перемещениями центров тяжести поперечных сечений в направлении, перпендикулярном геометрической оси балки X, которые называются прогибами (JJ;

4) Так как W

21 h

то 7J =

2S S .

По сортаменту, например, для двутавра № 20а:

/ = 2030 сж ; 5 = П4 сж ; й = 20 сж; 7) =

114-20

2030

1,12.

Б) 1Г = .

- 2 3 2 =ПГ-

rw2:2.

Рис. 81

6)r = .f-

2- л

. bh( 2 . 2 ft \

= f (2->А2); . fc/,42-vT)24 2,344.

Задачи 374-379. Определить отношения ч] =-

max

максималь-

ных изгибающих моментов М^ и/Итах . установленных расчетом по несущей способности и по допускаемому напряжению для указанных форм поперечных сечений балок.

1 --

а„ - расстояния от начала координат до сечеиии, в которых приложены пары сил (рис. 82, а);

Р - сосредоточенные поперечные силы (в том числе и реактивные);

Up - расстояния их точек приложения на оси балки от начала координат (рис. 82. б);

-On,-*	м
-as			Рис. 82

---гс -

<1 о, ,Qa - соответственно значения первой и т. д. производных 9j по X при X = Ug, т. е. для поперечных сечений, с которых начинается действие распределенных сил (рис. 82, е); Я bqyQ bq - соответственно значения q. первой и т. д. производных 9 по X при X = Ьд, т. е. для поперечных сечений, в которых заканчивается действие распределенных сил перед рассматриваемыми сечениями (рис. 82. е).

Если начало координат расположить в центре тяжести правого концевого сечения балки и ось х направить влево, то при указанном направлении нагрузок в формулах (116) и (117) у членов, отражающих влияние моментов внешних пар сил, знаки будут отрицательными; направление поворота сечения балки, найденное по формуле (117), окажется противоположным ранее принетому.

Можно помнить только одну формулу (116), из которой формула (117) получается дифференцированием

Два начальных параметра / и Go находятся из следующих условий закрепления балки:

1) в заделке прогиб и угол поворота сечения равны нулю;

2) на шарнирных опорах прогибы равны нулю

Для симметричных балок рассматривается одна их половина и используются условия симметрии - равенства нулю угла поворота сечения, совпадающего с осью прямой симметрии балки, или равенства нулю прогиба сечения, совпадающего с осью обратной симметрии балки.

Целесообразно записывать только одно уравнение (116) и одно уравнение (117) для произвольного сечения последнего участка балки, включая нагрузки в той последовательности, в которой они расположены от начала координат. Каждое из этнх уравнений пригодно для определения и в любом участке балки, если в них

2) угловыми перемещениями поперечных сечений вокруг нейтральной оси г, которые называются углами поворота сечений (ej.

Прогиб считается положительным, если его направление совпадает с положительным направлением оси у, перпендикулярной геометрической оси балки к.

Угол поворота 6. считается положительным, если поворот поперечного сечения балки вокруг нейтральной оси г происходит против часовой стрелки.

Максимальные и минимальные прогибы f / ,п и углы поворота бшах. тт оцениваются по их абсолютным значениям.

Так как поперечная сила оказывает заметное влияние на деформацию только коротких балок, то обычно /ив определяют лишь от изгибающего момента.

/ив можно определять методом начальных параметров, графическим, графо-аналитическим и другими методами.

Метод начальных параметров

За начальные параметры принимают прогиб /о и угол поворота 6(1 поперечного сечения балки, в центре тяжести которого расположено начало координат.

Целесообразно начало координат располагать в центре тяжести концевого поперечного сечения балки

Уравнения, определяющие и 6 в произвольном сечеиий балки, находящемся на расстоянии к от начала координат (если интенсивности распределенных нагрузок являются степенными функциями), записываются в следующем виде:

Elf = Elf о +Е1% + 1м'- + 1р' +

+ LQa---2j -4Г-- + 2j--

Ь, 51

+ ...; (И6>

ЕП, = Е1\ +ZiM--+ LP-2Г^ + 2:9а,-зг--

V (-V , V V . ( --М* , л,TV

где E - модуль продольной упругости материала балки;

/ - момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси г;

М - моменты внешних пар сил;

После подстановки

Следовательно, fo = -

Уравнения, определяющие и 6 в любом сечении любого участка, приобретают вид:

а<л:<2а

да ЗЕГ

2af.

2а<л:<3а

£ /6, =--i- 90 - 9; + -У- 9а (л: - а)= -f -1- 9 (JC - с)

0<ж<а а<х<2о

- 2qa{x - 2af. 2а<х<3а

Например, угол поворота сечения над левой опорой

угол поворота сечения над правой опорой

Е/ [ 6 68 + 6 6

прогиб балки под сосредоточенной силой

2 £/ \ 24 6 24 24 24 j 24 EI

Ha рис. 84 показаны примерный вид упругой линии балки (штриховая линия) и найденные прогибы и углы поворотов сечений.

Следует иметь в виду, что в тех сеченнях балки, в которых изгибающий момент равен нулю, на упругой линии должна быть точка перегиба. На участках балки, где изгибающий момент положителен, выпуклость упругой линии направлена вниз, а где изгибающий

6 ~~ЕГ

отчеркнуть число членов, соответствующих нагрузкам на предшествующих участках

Пример 42. Дано: q, а, Р = Aqa, М = qa?, EI (рис 83).

Определить 6.

Решение. Из условия статики ЕЛ1б = О

-да -а + А-2а - Ада-а + qa = 0; А = да.

Рис. 83

По уравнению (И6) для последнего правого участка балки:

11 (Д- -с) (х - а) (х-2а)з EIfx=EIfe + Е16 - (Г^ + -j-qa-g-+ q--- 4?o-g-

Для участка /: О < д: < a. Для участка : а < д: < 2а. Для участка /: 2о < д: < За. По условиям закрепления балки на левой опоре:

EJf,EIfo + Elb,a-0.

на правой опоре:

Elha = Elf о + За + i <?а- - -f да а* + qa* = О.

£ +3£/e a-f <?а* = 0.

2£/е„а+<?а* = 0 и е„=--1-.

39В

Парадшю

391 CijHijccuda {тпбвпны)

Задачи 392-409. Определить прогибы сечений С и углы поворота Gc сечений D балок.

q, а, Е н I - считать известными.

1
--а-	*-0-►

qa С

гпттт

1--а-

ш

П i И t п-

JTlTTT

TTtT

3se , j

в с

-20-

397 ца

щ

		С it
-0-	- D-

момент отрицателен, выпуклость упругой линии направлена вверх (это отмечено на рис. 84).

Задачи 386-387. В задаче 386 определить прогибы f и углы поворота G сечений балок методом интегрирования дифференциальных уравнений упругой линии:

1) в задачах 222-226 - прогибы и углы поворота свободных концов;

Рис. 84

2) в задачах 228, 229, 231 - прогибы в серединах пролетов и углы поворота на опорах;

3) в задачах 227 и 230 - наибольшие по абсолютному значению прогибы и углы поюрота на опорах.

Нагрузки, длины и жесткости сечений балок считать изнестными.

в задаче 387 установить, на сколько процентов и в какую сторону прогиб середины пролета балки, указанной на рисунке, определенный по приближенному уравнению упругой линии, отличается от прогиба, найденного точно по уравнению дуги окружности.

P=?T
а'2м

Задачи 388-391. Определить, на сколько процентов наибольший изгибающий момент и прогиб для балок, изображенных на рис. 388-391, больше, чем для балки на двух опорах, нагруженной такой же нагрузкой Q, но равномерно распределенной по длине.

Прогиб fj какого-нибудь сечения заданной балки определяют как отношение нзгибаклцего момента М в том же сечении фиктивной балки к жесткости EI заданной балкн, т. е.

L = (119)

Согласно формулам (118) и (119) деформационные условия в закреплениях и на границах заданной балки должны переходить в условия для Qф и Мф фиктивной балки.

Чтобы получить фиктивную балку, соответствующую заданной балке, необходимо соблюдать следующие правила-

ш -о--- ff)

I ; . ;

III

Jr-к-*-*-I

Рис. 85 Рис. S6

1) опора на конце заданной балки остается опорой на конце фиктивной балки;

2) опора не на конце заданной балки переходит в висячий шарнир фиктивной балкн;

3) заделанный конец заданной балки становится свободным концом фиктивной балки;

4) свободный конец заданной балкн становится заделанным концом фиктивной балки;

5) висячий шарнир заданной балки переходит в опору фиктивной балки.

На рнс. 85 и 86 показано использование правил построения фиктивных балок: о и б - заданные балки, а' и б' - соответствующие им фиктивные балки.

Графо-аналитический метод удобен для определения перемещений отдельных сечений балки тогда, когда легко находятся площади н центры тяжести эпюр изгибающего момента от заданной нагрузки.

Чтобы соблюдались принятые условия знаков прогиба и угла поворота сечения, положительную эпюру изгибающего момента заданной балки следует принимать за фиктивную нагрузку, действующую на фиктивную балку снизу вверх, а отрицательную эпюру изгибающего момента заданной балки - за фиктивную нагрузку, действующую на фиктивную балку сверху вниз.

Пример 43. Дано: Р, I, Е, I (рис. 87).

Определить вс , вл , /л.

		1°, , I.
\\\\\	д С	\\\\\
А

4° С

iEH qa qa

-Za-

ЧОВ

~1а-Ч --30 -

ад? ПараЬопа

т

Q0 Л
	- 0 -

ЧПарадопа

Графо-аналитический метод

Для заданной балки строят эпюру изгибающего момента. Эту эпюру принимают за фиктивную распределенную нагрузку фиктивной балки. Угол поворота 6. какого-нибудь сечения заданной балки определяют как отношение поперечной силы Qi в том же сеченни фиктивной балки к жесткости сечения заданной балки, т. е.

в. = :ЁГ- (118)

1 ... 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 ... 48